Supongamos que queremos comparar la edad de los estudiantes en dos escuelas y determinar qué escuela tiene más estudiantes de edad. Si comparamos sobre la base de estudiantes individuales, no podemos concluir nada. Sin embargo, si para los datos dados obtenemos un valor representativo que significa las características de los datos, la comparación se vuelve fácil.
Un cierto valor representativo de todos los datos y que significa sus características se llama promedio de los datos. Tres tipos de promedios son útiles para analizar datos.
Están:
(quiero decir
(ii) Mediana
(iii) Modo
En este artículo estudiaremos tres tipos de promedios para el análisis de los datos.
Significar
La media (o promedio) de las observaciones es la suma de los valores de todas las observaciones dividida por el número total de observaciones.
La media de los datos viene dada por x = f 1 x 1 + f 2 x 2 + …….. + f n x n /f1 + f2+……….. + fn
La fórmula media está dada por
Media= ∑(f i .x i )/∑f i
Métodos para calcular la media
Método 1: método directo para calcular la media
Paso 1: Para cada clase, encuentre la marca de clase x i , como
x=1/2(límite inferior + límite superior)
Paso 2: Calcular f i .x i para cada i.
Paso 3: Usa la fórmula Media = ∑(f i .x i )/∑f i
Ejemplo: Encuentra la media de los siguientes datos.
|
Intervalo de clases |
0-10 |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
12 |
dieciséis |
6 |
7 |
9 |
Solución:
Podemos preparar la siguiente tabla:
Intervalo de clases
Frecuencia fi
Marca de clase x i
( f i .x i )
0-10
12
5
60
10-20
dieciséis
15
240
20-30
6
25
150
30-40
7
35
245
40-50
9
45
405
∑f i =50
∑f i. x yo = 1100
Media=∑(f i .x i )/∑f i = 1100/50 = 22
Método 2: Asumido – Método de la media para calcular la media
Para calcular la media en tales casos, procedemos como se indica a continuación.
Paso 1: Para cada intervalo de clase, calcule la marca de clase x utilizando la fórmula: x i = 1/2 (límite inferior + límite superior).
Paso 2: elija un valor adecuado de la media y denótelo con A. x en el medio como la media supuesta y denótelo con A.
Paso 3: Calcular las desviaciones d i =(x,-A) para cada i.
Paso 4: Calcular el producto (f i xd i ) para cada i.
Paso 5: Encuentra n = ∑f i
Paso 6: Calcular la media, x, usando la fórmula: X = A+ ∑f i d i /n
Ejemplo: utilizando el método de la media supuesta, encuentre la media de los siguientes datos:
|
Intervalo de clases |
0-10 |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
7 |
8 |
12 |
13 |
10 |
Solución:
Sea A=25 la media supuesta. Entonces tenemos,
Intervalo de clases Frecuencia
yo _
valor medio
x yo
Desviación
re = ( x yo -25)
( fi xd yo ) 0-10 7 5 -20 -140 10-20 8 15 -10 -80 20-30 12 25=A 0 0 30-40 13 35 10 130 40-50 10 45 20 200 ∑f i =50 ∑(f yo x d yo )=100 Media = X = A+ ∑f i d i /n = (25+110/50)=27.2
Método 3: método de paso-desviación para calcular la media
Cuando los valores de xyf son grandes, el cálculo de la media por los métodos anteriores se vuelve tedioso. En tales casos, usamos el método de desviación escalonada, que se proporciona a continuación.
Paso 1: Para cada intervalo de clase, calcule la marca de clase x, donde X = 1/2 (límite inferior + límite superior).
Paso 2: Elija un valor adecuado de x, en el medio de la columna x, como la media supuesta y denótelo con A.
Paso 3: Calcula h = [(límite superior)-(límite inferior)], que es igual para todas las clases.
Paso 4: Calcula u i = (x i -A) /h para cada clase.
Paso 5: Calcule fu para cada clase y, por lo tanto, encuentre ∑(f i xu i ).
Paso 6: Calcula la media usando la fórmula: x = A + {hx ∑(f i xu i )/ ∑f i }
Ejemplo: Encuentre la media de la siguiente distribución de frecuencia:
|
Clase |
50-70 |
70-90 |
90-110 |
110-130 |
130-150 |
150-170 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
18 |
12 |
13 |
27 |
8 |
22 |
Solución:
Preparamos la tabla dada a continuación,
Clase
Frecuencia
yo _
Valor medio
x yo
ui=(x i -A)/h
=(x i -100)20
( fi xu yo )
50-70
18
60
-2
-36
70-90
12
80
-1
-12
90-110
13
100=A
0
0
110-130
27
120
1
27
130-150
8
140
2
dieciséis
150-170
22
160
3
66
∑f i =100
∑(f yo xu yo )=61
A=100, h=20, ∑f i =100 y ∑(f i xu i )=61
x = UN + {hx ∑(f yo xu yo ) / ∑f yo }
=100 + {20 + 61/100} = (100+12,2) =112,2
Mediana
Primero organizamos los valores de datos dados de las observaciones en orden ascendente. Entonces, si n es impar, la mediana es (n+1/2). Y si n es par, entonces la mediana será el promedio de la n/2 y la (n/2 +1) observación.
Fórmula para calcular la mediana:
Mediana, M e = l + {hx (N/2 – cf )/f}
dónde,
l = límite inferior de la clase mediana.
h=ancho de clase mediana.
f = frecuencia de clase mediana,
cf = frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase mediana.
norte = ∑f yo
Ejemplo: Calcule la mediana de la siguiente distribución de frecuencias.
|
Intervalo de clases |
0-8 |
8-16 |
16-24 |
24-32 |
32-40 |
40-48 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
8 |
10 |
dieciséis |
24 |
15 |
7 |
Solución:
Podemos preparar una tabla de frecuencia acumulada como se indica a continuación,
Clase
Frecuencia
Frecuencia acumulada
0-8
8
8
8-16
10
18
16-24
dieciséis
34
24-32
24
58
32-40
15
73
40-48
7
80
N=∑f yo =80
Ahora, N = 80 = (N/2) = 40.
La frecuencia acumulada apenas superior a 40 es 58 y la clase correspondiente es 24-32.
Por lo tanto, la clase mediana es 24-32.
l = 24, h = 8, f = 24, cf = cf de la clase anterior = 34 y (N/2) = 40.
Mediana, M e = l+ h{(N/2-cf)/f}
= 24+8 {(40 – 34)/ 24}
= 26
Por lo tanto, mediana = 26.
Modo
Es ese valor de un variable que ocurre con mayor frecuencia. Más precisamente, la moda es el valor de la variable en el que la concentración de los datos es máxima.
Clase modal: en una distribución de frecuencias, la clase que tiene la máxima frecuencia se denomina clase modal.
Fórmula para el modo de cálculo:
METRO = xk +h{(f k – f k -1 )/(2f k -f k-1 -f k+1 )}
dónde,
x k = límite inferior del intervalo de clase modal.
f k = frecuencia de la clase modal.
f k-1 = frecuencia de la clase que precede a la clase modal.
f k+1 = frecuencia de la clase que sucede a la clase modal.
h=ancho del intervalo de clase.
Ejemplo 1: Calcule la moda para la siguiente distribución de frecuencias.
|
Clase |
0-10 |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
5 |
8 |
7 |
12 |
28 |
20 |
10 |
10 |
Solución:
La clase 40-50 tiene la frecuencia máxima, por lo que se denomina clase modal.
xk = 40, h=10, fk =28, fk-1 =12, fk+1 =20
Moda, M o = x k +h{(f k – f k-1 )/(2f k -f k-1 -f k+1 )}
= 40 +10{(28 – 12)/(2*28-12 – 20)}
= 46,67
Por lo tanto, moda= 46.67
Resultado importante: relación entre la media, la mediana y la moda.
Moda = 3 (Mediana) – 2 (Media)
Ejemplo 2: encuentre la media, la moda y la mediana de los siguientes datos,
|
Clase |
0-10 |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frecuencia |
8 |
dieciséis |
36 |
34 |
6 |
100 |
Solución:
Tenemos,
Clase
Valor medio x i
Frecuencia fi
Frecuencia acumulada
yo _ x yo
0-10
5
8
8
40
10-20
15
dieciséis
24
240
20-30
25
36
60
900
30-40
35
34
94
1190
40-50
45
6
100
270
∑f i =100
∑f yo . x yo = 2640
Media = ∑(f i .x i )/∑f
=2640/100
= 26,4
Aquí, N = 100 ⇒ N / 2 = 50.
La frecuencia acumulada apenas superior a 50 es 60 y la clase correspondiente es 20-30.
Por lo tanto, la clase media es 20-30.
Por lo tanto, l = 20, h = 10, f = 36, c = cf de la clase anterior = 24 y N/2 = 50
Mediana, M e = l+ h{(N/2-cf)/f}
= 20+10{(50-24)/36}
Mediana = 27,2.
Moda = 3 (mediana) – 2 (media) = (3 × 27,2 – 2 × 26,4) = 28,8
Ojivas
Dejemos que se nos dé una distribución de frecuencias agrupadas. En papel cuadriculado, marcamos los límites de clase alta a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y. Al unir estos puntos sucesivamente por segmentos de línea, obtenemos un polígono, llamado polígono de frecuencia acumulada. Al unir estos puntos sucesivamente mediante curvas suaves, obtenemos una curva, conocida como ojiva.
El proceso paso a paso para la construcción de un gráfico Ogive
- Primero, marcamos los límites superiores del intervalo de clase en el eje x horizontal y sus frecuencias acumuladas correspondientes en el eje y.
- Ahora trace todos los puntos correspondientes del par ordenado dado por (límite superior, frecuencia acumulada).
- Une todos los puntos a mano libre.
- La curva que obtenemos se conoce como ojiva.
Tipos de Ojivas
1) Menos que la ojiva
En papel cuadriculado, marcamos los límites de clase alta a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y.
(i) Al unir estos puntos sucesivamente por segmentos de recta, obtenemos un polígono, llamado polígono de frecuencias acumuladas.
(ii) Al unir estos puntos sucesivamente mediante curvas suaves, obtenemos una curva, conocida como menos que ojiva.
2) Más que Ojiva
En papel cuadriculado, marcamos los límites de clase inferiores a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y.
(i) Al unir estos puntos sucesivamente por segmentos de línea, obtenemos un polígono, llamado polígono de frecuencia acumulada.
(ii) Al unir estos puntos sucesivamente mediante curvas suaves, obtenemos una curva, conocida como más de ojiva.
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Artículo escrito por portalpirate y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA