Método de Newton para encontrar raíces

Polinomio se compone de dos palabras: Poly (que significa «muchos») y Nominal (que significa «términos»). Un polinomio es una ecuación matemática formada por variables, constantes y exponentes que se mezclan mediante operaciones como suma, resta, multiplicación y división. La forma general de un polinomio es 

f(x) = un _norte x ^norte + un _norte−1 x ^norte−1 + … + un ₂ x ² + un ₁ x + un ₀

Los polinomios se pueden clasificar en monomios, binomios y trinomios según el número de términos presentes. Por ejemplo, términos como x, 13y, 39, etc. son todos monomios, mientras que términos como x ² + x, x10 – x ⁴ , etc. se denominan binomios porque constan de dos términos. De manera similar, los polinomios que tienen solo tres términos se denominan trinomios.

Raíces de un polinomio

 Las raíces de un polinomio son las soluciones del polinomio dado para las cuales se debe determinar el valor de la variable desconocida. Podemos evaluar el valor de un polinomio a cero si conocemos las raíces. Un polinomio de grado ‘n’ en la variable x es una ecuación del tipo a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +…… + a ₁ x + a ₀ , donde cada variable tiene como coeficiente una constante. La frase se refiere a cada variable en una expresión que está separada por un signo de suma o resta. La mayor potencia de una variable polinomial se define como el grado del polinomio.

Método de Newton para encontrar las raíces de un polinomio

La fórmula del método de Newton se usa para encontrar las raíces de un polinomio iterando de una raíz a la siguiente. Calcular las raíces con este enfoque lleva mucho tiempo para polinomios de mayor grado, pero para polinomios de menor grado, los resultados son bastante rápidos y cercanos a las verdaderas raíces de la ecuación. Usando esta estrategia, podemos identificar las raíces consecutivas de una ecuación si conocemos alguna de sus raíces. La fórmula del método de Newton para encontrar las raíces de un polinomio es la siguiente:

dónde,

• x ₀ es el valor inicial
• f(x ₀ ) es el valor de la función en el valor inicial
• f'(x ₀ ) es la primera derivada del valor de la función en el valor inicial.

Derivación

El método de Newton comienza con una suposición inicial que está relativamente cerca de la raíz correcta (solución), y luego utiliza la línea tangente para adquirir una intersección x aún mejor que nuestra primera suposición o punto de inicio.

Supongamos que buscamos la raíz (o intersección x) de f(x). Esto indica que estamos buscando un en la imagen de abajo. El truco del método de Newton es dibujar una recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto (b, f(b)).

El cálculo crucial en cada etapa de la técnica de Newton, como acabamos de ver, es descubrir dónde la línea tangente a y = f(x) en el punto (x 1 _, y ₁ ) cruza el eje x.

La forma de gradiente de punto de la ecuación de una línea con pendiente m y que pasa por el punto (x0, y0) se da como:

y – y ₀ = m(x – x ₀ ).

En esta situación, la línea tiene una pendiente de f'(x _n ). El intercepto en x ocurre donde y = 0.

Así, al hacer y = 0, tenemos:

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Comenzando con x ₀ = 5, encuentra la siguiente raíz de la ecuación x ³ − 7x ² + 8x − 3 = 0.

Solución:

Según el método de Newton,  .

Dado: x ₀ = 5, f(x) = x ³ − 7x ² + 8x − 3 = 0

⇒ f'(x) = 3x ² − 14x + 8

Ahora, x ₁ = 

= 5 − (−13)/13

= 5 + 1

⇒x1 ₌ 6 _

Pregunta 2. Comenzando con x ₀ = −3.5, encuentre la siguiente raíz de la ecuación x ³ − x ² − 15x + 1 = 0.

Solución:

Según el método de Newton, 

Dado: x ₀ = 5, f(x) = x ³ − x ² − 15x + 1 = 0

⇒ f'(x) = 3x ² − 2x − 15

Ahora, x ₁ = 

= −3,5 − (−1,625)/28,75

⇒x1 = _−3,443

Pregunta 3. Comenzando con x ₀ = 2, encuentra la siguiente raíz de la ecuación x ² − 2 = 0.

Solución:

Según el método de Newton,  .

Dado: x0 = 5, f(x) = x ² − 2 = 0

⇒ f'(x) = 2x

Ahora, x ₁ = 

= 2 − 2/4

⇒x1 ₌ 1,5

Pregunta 4. Comenzando con x ₀ = 1, encuentra la siguiente raíz de la ecuación −x ³ + 4x ² − 2x + 2 = 0.

Solución:

Según el método de Newton, 

Dado: x0 = 5, f(x) = −x ³ + 4x ² − 2x + 2 = 0.

Ahora, x1 = 

= 1 − 3/3

⇒x1 ₌ 0

Pregunta 5. Comenzando con x ₀ = 8, encuentre la siguiente raíz de la ecuación x ³ − 10x ² + 9x − 12 = 0.

Solución:

Según el método de Newton, 

Dado: x0 = 5, f(x) = −x3 + 4×2 − 2x + 2 = 0.

Ahora, x1 = 

= 1 − 3/3

⇒x1 = 0