Minimiza f (x, y) = x2 + y2 en la hipérbola xy = 5

Una curva generada por la intersección de un cono circular recto con un plano se llama sección cónica. Si un plano es perpendicular al eje del cono, entonces se produce un círculo. Plano que no es perpendicular al eje y que intersecta solo una siesta, entonces la curva producida es una elipse o una parábola. La curva que produce un plano que corta ambas siestas y luego se produce una hipérbola. La elipse y la hipérbola también se conocen como cónicas centrales.

Términos para recordar

• Vértice: Es el punto extremo de una sección cónica.
• Lugar geométrico: El conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación dada.
• Foco: Es un punto fijo en torno al cual convergen los rayos que se reflejan desde la curva.
• Nappe: Es la mitad del doble cono.
• Directriz: Es una línea fija utilizada para construir una sección cónica.
• Excentricidad: Es un parámetro que mide cuánto se desvía la sección cónica de ser circular.

Tipos de sección cónica

Hay diferentes tipos de secciones cónicas formadas en función de cómo se corta el cono. Puede formar un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola. El siguiente diagrama muestra cómo se forman las diferentes secciones cónicas. Echemos un vistazo a las secciones con más detalle con las definiciones adecuadas.

• parábolas

Es un tipo de sección cónica en la que el lugar geométrico de los puntos en ese plano son equidistantes tanto de la directriz como del foco.                         

Excentricidad e = 1.

Ecuación general : Y = 4aX, a > 0

• Elipse

Es el conjunto de puntos de tal forma que la suma de la distancia desde cualquier punto de la elipse al otro punto fijo (Focos) es constante.         

Excentricidad e < 1.

Ecuación general: X ² ⁄a ² + Y ² /b ² = 1

• Circulo

Se define como la forma cerrada que se forma al trazar un punto que se mueve en un plano tal que su distancia a un punto dado es constante.     

Excentricidad e = 0.

Ecuación general: X ² + Y ² = a ²

• Hipérbola

Es el lugar geométrico de todos aquellos puntos de un plano de tal forma que la diferencia de distancia entre ellos a dos puntos fijos (focos) del plano es una constante. Tiene dos focos y dos directriz. Tiene dos asíntotas que son líneas rectas que forman una X (cruz) a la que se acerca la hipérbola pero nunca toca. 

Excentricidad e > 1.

Ecuación general : X ² /a ² – Y ² /b ² = 1

Minimiza f (x, y) = x ² + y ² en la hipérbola xy = 5.

Solución:    

f(X, Y) = X2 ^{+ Y2} ⇢ (i)

XY = 5

Y = 5/X ⇢ (ii)

f(X) = X ² + (5/X) ² ⇢ (colocando la ecuación 1 en la ecuación 2)

f'(X) = 2X + 25(-2/X ³ ) ⇢ (1ra derivada de la ecuación) 

Ahora, 2X + 25(-2/X ³ ) = 0

2X – 50/X ³ = 0

2X ⁴ – 50 = 0

X4 = ^50/2

X ⁴ = 25

X2 ⁼ ±√25

X ² = ±5 ⇢ [ya que X ² no puede ser -ve]

X = ±√5  

Y = 5/ ±√5 ⇢ [poner el valor de X en la ecuación (ii)

Y = ±(√5 × √5)/ √5

Y = ±√5

(X, Y) = (√5,√5) & (-√5, -√5)

Valor mínimo: X ² + Y ² = (±√5 ) ² + (±√5) ² = 10

Problemas similares

Pregunta 1: ¿Encuentra la posición del punto (6, -5) en relación con la hipérbola x ² /a ² – y ² /b ² = 1?

Solución: 

Sabemos que el punto p(x ₁ , y ₂ ) se encuentra 

Afuera, x ² /a ² – y ² /b ² – 1 < 0

Dentro, x ² /a ² – y ² /b ² – 1 < 0

Entonces, x ₁ ² /a ² – y ² ₁ /b2 – 1 

= 6 ² /9 – (-5) ² /25 – 1

= 36/9 – 25/25 – 1

 = 2

Dado que 2 > 0

Por lo tanto, el punto (6, -5) se encuentra dentro de la ecuación de hipérbola dada.

Pregunta 2: Encuentra la excentricidad de la hipérbola 4x ² – 9y ² -8x = 32?

Solución: 

4x ² – 9y ² – 8x = 32

4(x ² – 2x ) – 9y ² = 32

4(x ² – 2x + 1) – 9y ² = 32 + 4 [suma 4 en ambos lados]

4(x ² – 2x + 1) – 9y ² = 36

[(x -1) ² ]/9 – [y ² ]/4 = 1 

un ² = 9 , ^{segundo 2} = 4

e = [1 + b ² /a ² ] ^1/2

mi = (1 + 4/9) ^1/2

mi = (13/9) ^1/2

e = (√13)/3

Por lo tanto, e = (√13)/3

Pregunta 3: Si el centro, el vértice y el lugar geométrico de una hipérbola son (0, 0), (4, 0) y (6, 0) respectivamente, ¿entonces encuentra la ecuación de la hipérbola?

Solución: 

Centro (0, 0)

Vértice (4, 0)

Enfoque (6, 0)

Entonces, a = 4

ae = 6

mi = 6/4 = 3/2

Por hipérbola,

mi = √(1+ ^{segundo 2} /a ² ) = 3/2

9/4 = 1 + ^{segundo 2} /16

b2 / ¹⁶ = 5/4

b ² = 20 

x2 /16 – y2 ^{/ 20} = 1

5x ² – 4 y ² = 80.

Por lo tanto, la ecuación será 5x ² – 4y ² = 80 .            

Pregunta 4: Si el lugar geométrico de una hipérbola es 8 y su excentricidad es 3/√5. ¿Encontrar la ecuación de la hipérbola?

Solución:  

Excentricidad (e) = 3/√5                               

b ² /a ² = 4/5 ⇢ (1)

Lato recto = 8                   

2(b ² )/a = 8

b ² /a = 4 ⇢ (2)

Dividiendo (2) por (1)

(b ² /a ² )/(b ² /a) = (4/5)/4

b ² = 20  

Entonces, a ² = 25, b ² = 20

Ecuación de hipérbola:

x2 /25 – y2 ^{/ 20} = 1

(4x ² – 5y ² )/100 = 1

4x ² – 5y ² = 100

Por lo tanto la ecuación será 4x ² – 5y ² = 100

Pregunta 5: Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares dibujadas desde cualquiera de los focos en una tangente variable a la hipérbola 16y ² – 9x ² = 1?

Solución:       

16y ² – 9x ² = 1

9x ² – 16y ² = -1

x2 /(1/339) – y2 ^{/ (} 1/16) = -1 

Para la ecuación de la hipérbola conjugada del círculo auxiliar es: x ² + y ² = b ²

Entonces, b ² = 1/16

La ecuación será x ² + y ² = 1/16

Pregunta 6: Encuentra la longitud del eje transversal de la hipérbola, cuando el producto de la distancia perpendicular desde cualquier punto de la hipérbola x ² /a ²   – y ² /b ² = 1 que tiene la excentricidad e = √3 en sus asíntotas es igual a 6

Solución: 

Excentricidad (e) ² = (a ² /b ² ) + 1

(√3) ²  = (a ² /b ² ) + 1

3 = (a ² /b ² ) + 1

(a ² /b ² ) = 2

(a ² ) = 2b ²

Producto de perpendiculares = (a ² b ² )/a ² +b ² 

[2b ² × b ² ]/(2b ² + b ² ) = 6

[2b ² × b ² ]/(3b ² ) = 6

2b ² = 18

b ² = 9

b = ± 3 

Por lo tanto Longitud = 2 × 3 = 6