Polinomio es una expresión algebraica que consta de variable y coeficiente. La variable también se llama a veces indeterminada. Podemos realizar cualquiera de las operaciones usando polinomios ya sea multiplicación, división, resta o suma. En este artículo vamos a aprender a multiplicar polinomios.
Multiplicar monomio por un monomio
En matemáticas, un monomio es una expresión en álgebra que contiene solo una variable, puede ser un número, un número entero y una variable que se multiplica como 2x, 4mn, etc. Ahora, aprenderemos cómo multiplicar un monomio por un monomio:
Multiplicando dos monomios:
Como sabemos que:
3 × metro = metro + metro + metro
Del mismo modo, 3 × (10m) = 10m +10m +10m = 30m
Ejemplos:
(i) m × 10n 2 = m × 10 × n × n = 10mn 2
(ii) 20t × 3n = 20 × t × 3 × n = 60tn
(iii) 100q × (-8qzr) = 100 × q × (-8) × q × z × r= -800q 2 zr
Como podemos ver en estos ejemplos, el coeficiente del producto es igual al producto de los coeficientes del primer y segundo monomio.
Multiplicando tres o más monomios:
Para encontrar el producto de tres o más monomios, primero podemos multiplicar dos monomios y luego multiplicar este producto con los monomios restantes. Podemos extender este método para encontrar el producto de cualquier número de monomios.
Ejemplos
Pregunta 1. Evalúa 100pq × 4qr × 8pr
Solución:
Dado: 100pq × 4qr × 8pr
Entonces, primero multiplicaremos 100 pq y 4qr = 400pq 2 r
Ahora multiplique este producto con 8pr
El producto final es 400pq 2 r × 8pr = 3200p 2 q 2 r 2
Podemos obtener la misma solución multiplicando primero los coeficientes 100 × 4 × 8 = 3200
El producto de los coeficientes algebraicos es pq × qr × pr = p 2 q 2 r 2
Entonces, el producto final es 3200p 2 q 2 r 2
Pregunta 2. Encuentra 5pqr × 10 primero
Solución:
Multiplica los coeficientes 5 × 10 =50
Multiplica los coeficientes algebraicos = pqr × rst = pqr 2 st
Entonces, Producto = 50pqr 2 st
El resultado de la multiplicación no depende del orden en que se realice la multiplicación.
Multiplicar Monomio por un Polinomio
Se nos permite multiplicar un monomio por un polinomio usando los siguientes pasos:
Paso 1: Ordena el monomio y el polinomio en una línea.
Paso 2: ahora usa la ley distribuida para separarlos.
Paso 3: Después de la separación multiplica el primer término por el segundo término
Paso 4: simplifica el resultado (si es necesario).
Ejemplos
Pregunta 1. Multiplica 20m × (10n + 3).
Solución:
Dado: 20m x (10n + 3)
Usando las leyes distributivas,
= (20m × 10n) + (20m × 3)
= 200mn + 60m
Pregunta 2. Encuentra el producto 19p × (2q + 3z + 5pq)
Solución:
Dado: 19p × (2q + 3z + 5pq)
Usando la ley distributiva,
= (19p × 2q) + (19p × 3z) + (19p × 5pq)
= 38pq + 57pz + 95p 2q
Polinomio multiplicador
Se nos permite multiplicar un polinomio con otro polinomio usando los siguientes pasos:
Paso 1: Ordena los polinomios en una línea.
Paso 2: ahora usa la ley distribuida para separarlos.
Paso 3: Después de la separación multiplica el primer término por el segundo término
Paso 4: simplifica el resultado (si es necesario).
Con estos pasos, puede multiplicar varios polinomios entre sí. Y cuando los dos polinomios se multiplican, el grado del polinomio resultante siempre es mayor.
Ejemplos:
Pregunta 1. Multiplica (2x – 4y) y (3x – 5y).
Solución:
Dado: (2x – 4y) × (3x – 5y)
Usando las leyes distributivas,
[2x × (3x – 5y)] – [4y × (3x – 5y)]
[6x 2 – 10xy] – [12xy – 20y 2 ]
6x 2 – 10xy – 12xy – 20y 2
6x 2 – 20y 2 – 22xy
Pregunta 2. Multiplica (2x + 4y) y (2x + y).
Solución:
Dado: (2x + 4y) × (2x + y)
Usando las leyes distributivas,
[2x × (2x + y)] + [4y × (2x + y)]
[4x 2 + 2xy] + [8xy + 4y 2 ]
4x 2 + 2xy + 8xy + 4y 2
4x 2 + 4y 2 + 10xy
Pregunta 3. Encuentra el valor de 3m (4m – 5) + 4 cuando m = 1
Solución
Dado: 3m (4m – 5) + 4, m = 1
3m(4m – 5) = 12m 2 – 15m
Entonces, 3m (4m – 5) + 4 = 12m 2 – 15m + 4
Ahora pon el valor m = 1
= 12(1) 2 – 15 (1) + 4
= 12 – 15 + 4
= 1
Tipos de multiplicación de polinomios:
Hay dos tipos de multiplicación de polinomios disponibles:
1. Multiplicar un binomio por un binomio
Se nos permite multiplicar un binomio con otro binomio usando los siguientes pasos:
Paso 1: Ordena los binomios en una línea.
Paso 2: ahora usa la ley distribuida para separarlos.
Paso 3: Después de la separación multiplica el primer término por el segundo término
Paso 4: combine términos similares (si están disponibles).
Ejemplos:
Pregunta 1. Multiplica (t – 5) y (3m + 5)
Solución:
Dado: (t – 5) × (3m + 5)
Usando la ley distribuida
t(3m + 5) – 5(3m + 5)
3tm + 5t – 15m – 25
Pregunta 2. Multiplica (z + 4) y (z – 4)
Solución:
Dado: (z + 4) × (z – 4)
Usando la ley distribuida
= z(z-4) + 4(z-4)
= z 2 – 4z + 4z – 16
= z 2 – 16
Pregunta 3. Multiplica (m – n) y (3m + 5n)
Solución:
Dado: (m – n) × (3m + 5n)
Usando la ley distribuida
= m(3m + 5n) – n(3m + 5n)
= 3m 2 + 5mn – 3mn – 5n 2
= 3m 2 + 2mn – 5n 2
2. Multiplicar un binomio y un trinomio
Se nos permite multiplicar un binomio con otro trinomio usando los siguientes pasos:
Paso 1: Ordena el binomio y el trinomio en una línea.
Paso 2: ahora usa la ley distribuida para separarlos.
Paso 3: Después de la separación, cada uno de los dos términos del binomio se multiplica por cada uno de los tres términos del trinomio.
Paso 4: combine términos similares (si están disponibles).
Ejemplos
Pregunta 1. Simplifica (m – n)(2m + 3n + r)
Solución:
Dado: (m – n)(2m + 3n + r)
Usando la ley distribuida
= m(2m + 3n + r) – n(2m + 3n + r)
= 2m 2 + 3mn + señor – 2mn – 3n 2 – nr
= 2m 2 + mn – 3n 2 + señor – nr
Pregunta 2. Evalúa (p + q) (p + q + r)
Solución:
Dado: (p + q)(p + q + r)
Usando la ley distribuida
= p(p + q + r) + q(p + q + r)
= p 2 + pq + pr + pq + q 2 + qr
= pag 2 + q 2 + 2pq + pr + qr
Pregunta 3. Evalúa (4 + 5t)(5 + 3t + q)
Solución
Dado: (4 + 5t)(5 + 3t + q)
Usando la ley distribuida
= 4(5 + 3t + q) + 5t (5 + 3t + q)
= 20 + 12t + 4q + 25t + 15t 2 + 5tq
= 15t 2 + 37t + 5tq + 4q + 20