Notas de Matemáticas CBSE Clase 11

Posted on by Rudeus Greyrat

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Otros temas importantes que se tratan en el plan de estudios de Matemáticas de Class 11 son los números complejos y las ecuaciones cuadráticas , las desigualdades lineales , los límites y las derivadas , las estadísticas y la probabilidad , etc. Las soluciones NCERT para Class 11 y las soluciones RD Sharma para Class 11 también están cubiertas por nuestros expertos para Class 11 estudiantes.

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CBSE-Class-11-Maths-Notes

Capítulo 1: Conjuntos

Comencemos con las notas de los conjuntos de matemáticas de la clase 11 . El capítulo explica el concepto de conjuntos junto con su representación . Las Notas de Matemáticas de Clase 11 cubren temas como escribir números en forma de conjuntos , verificar conjuntos vacíos, finitos, infinitos e iguales, identificar subconjuntos , realizar varias operaciones en conjuntos , diagramas de Venn y encontrar la unión e intersección de conjuntos .

Algunas fórmulas importantes aprendidas en CBSE Clase 11 Capítulo 1- Conjuntos,

  • A – A = Ø
  • segundo – un = segundo⋂ un’
  • B – A = B – (A⋂B)
  • (A – B) = A si A⋂B = Ø
  • (A – B) ⋂ C = (A⋂ C) – (B⋂ C)
  • A ΔB = (AB) U (B-A)
  • n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
  • n(A∪B∪C)= n(A) +n(B) + n(C) – n(B⋂C) – n (A⋂B)- n (A⋂C) + n(A⋂B ⋂C)
  • n(A – B) = n(A∪B) – n(B)
  • n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
  • n(A’) = n(∪) – n(A)
  • n(U) = n(A) + n(B) + – n(A⋂B) + n((A∪B)’)
  • n((A∪B)’) = n(U) + n(A⋂B) – n(A) – n(B)

El Capítulo 1 de CBSE Class 11 Math Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 1

Capítulo 2: Relaciones y Funciones

El capítulo Relaciones y funciones explica si una relación es o no una función, determinando diferentes tipos de funciones , sumando, restando, multiplicando funciones y determinando su rango . 

El capítulo se divide en dos secciones, Relación y Funciones . Los temas tratados en la primera parte son el producto cartesiano de conjuntos , que incluye subtemas como el Número de elementos en el producto cartesiano de dos conjuntos finitos y el producto cartesiano del conjunto de reales consigo mismo. Además, se discute el concepto de relación, diagramas gráficos, dominio, codominio y rango de una relación .

La siguiente sección de este capítulo consta de temas como funciones de valores reales , dominio y rango de estas funciones , funciones constantes, identidad, polinomiales, racionales, módulos, signum, exponenciales, logarítmicas y enteros más grandes, con sus gráficos.

Las fórmulas importantes utilizadas en CBSE Clase 11 Capítulo 2- Relaciones y funciones son,

  • Inverso de la relación: A y B son dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Sea R una relación entre dos conjuntos A y B. La inversa de la relación R, indicada como R -1 , es una relación que conecta B y A y está definida por

R – 1 ={(b, a) : (a, b) ∈ R}

donde, Dominio de R = Rango de R -1 y Rango de R = Dominio de R -1 .

  • Un producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B está dado por: A × B = { (a,b) : a ϵ A, b ϵ B}
    • Si (a, b) = (x, y); entonces a = x y b = y
    • Si n(A) = x y n(B) = y, entonces n(A × B) = xy y A × ϕϕ = ϕϕ
    • El producto cartesiano: A × B ≠ B × A.
  • Álgebra de funciones : Si la función f : X → R y g : X → R; tenemos:
    • (f + g)(x) = f(x) + g(x) ; x ϵ X
    • (f – g)(x) = f(x) – g(x)
    • (f . g)(x) = f(x).g(x)
    • (kf)(x) = k(f(x)) donde k es un número real
    • {f/g}(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0

El capítulo 2 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 2

Capítulo 3: Funciones trigonométricas

El capítulo Funciones trigonométricas se enfoca principalmente en cómo medir ángulos en radianes y grados , y cómo convertir entre los dos . El capítulo también cubre el uso de un círculo unitario para definir funciones trigonométricas , la solución general de ecuaciones trigonométricas, los signos , el dominio y el rango de funciones trigonométricas , así como sus gráficos.

El capítulo introduce a los estudiantes al proceso de expresar sen (xy) y cos (xy) en términos de senx, seny, cosx y cosy, así como sus aplicaciones simples y deducción de identidades, para sen 2x, cos 2x, tan 2x, sen 3x, cos 3x y tan 3x, respectivamente.

Fórmulas importantes útiles en CBSE Clase 11 Capítulo 3: Funciones trigonométricas son,

  • Razones trigonométricas recíprocas :
    • sin θ = 1 / (coseg θ)
    • cosec θ = 1 / (sen θ)
    • cos θ = 1 / (seg θ)
    • segundo θ = 1 / (cos θ)
    • tan θ = 1 / (cuna θ)
    • cuna θ = 1 / (bronceado θ)
  • Razones trigonométricas de ángulos complementarios:
    • sen (90 ° – θ) = cos θ
    • cos (90 ° – θ) = sen θ
    • bronceado (90 ° – θ) = cuna θ
    • cuna (90 ° – θ) = tan θ
    • segundo (90 ° – θ) = cosegundo θ
    • cosec (90 ° – θ) = sec θ
  • Razones trigonométricas periódicas
    • sin(π/2-θ) = cos θ
    • cos(π/2-θ) = sen θ
    • sen(π-θ) = sen θ
    • cos(π-θ) = -cos θ
    • sen(π+θ)=-sen θ
    • cos(π+θ)=-cos θ
    • sin(2π-θ) = -sin θ
    • cos(2π-θ) = cos θ
  • Identidades trigonométricas
    • sen 2  θ + cos 2  θ = 1 ⇒ sen 2  θ = 1 – cos 2  θ ⇒ cos 2  θ = 1 – sen 2  θ
    • cosec 2  θ – cot 2  θ = 1 ⇒ cosec 2  θ = 1 + cot 2  θ ⇒ cot 2  θ = cosec 2  θ – 1
    • segundo 2  θ – bronceado 2  θ = 1 ⇒ segundo 2  θ = 1 + bronceado 2  θ ⇒ bronceado 2  θ = segundo 2  θ – 1
  • Fórmulas de producto a suma
    • sen x sen y = 1/2 [cos(x–y) − cos(x+y)]
    • cos x cos y = 1/2[cos(x–y) + cos(x+y)]
    • sen x cos y = 1/2[sen(x+y) + sen(x−y)]
    • cos x sen y = 1/2[sen(x+y) – sen(x−y)]
  • Fórmulas de suma a producto
    • sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(xy)/2]
    • sen x – sen y = 2 cos [(x+y)/2] sen [(xy)/2]
    • cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(xy)/2]
    • cos x – cos y = -2 sen [(x+y)/2] sen [(xy)/2]
  • Fórmulas trigonométricas generales:
    • sen (x+y) = sen x × cos y + cos x × sen y
    • cos(x+y)=cosx×cosy−senx×seny
    • cos(x–y)=cosx×cosy+senx×seny
      sin(x–y)=senx×cosy−cosx×seny
    • Si no hay ángulos x, y y (x ± y) es un múltiplo impar de (π / 2); después:
      • tan (x+y) = tan x + tan y / 1 − tan x tan y
      • tan (x−y) = tan x − tan y / 1 + tan x tan y
    • Si no hay ángulos x, y y (x ± y) es un múltiplo impar de π; después:
      • cuna (x+y) = cuna x cuna y−1 / cuna y + cuna x
      • cuna (x−y) = cuna x cuna y+1 / cuna y − cuna x
  • Fórmulas para el doble de los ángulos:
    • sin2θ = 2sinθ cosθ = [2tan θ /(1+tan2θ)]
    • cos2θ = cos2θ–sen2θ = 1–2sen2θ = 2cos2θ–1= [(1-tan2θ)/(1+tan2θ)]
    • tan 2θ = (2 tan θ)/(1-tan 2θ)
  • Fórmulas para el triple de los ángulos:
    • sen 3θ = 3 sen θ – 4 sen 3θ
    • cos 3θ = 4cos 3θ – 3cos θ
    • tan 3θ = [3tan θ–tan 3θ]/[1−3tan 2θ]

El Capítulo 3 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 3

Capítulo 4: Principio de Inducción Matemática 

Como sugiere el nombre, el capítulo explica el concepto del Principio de Inducción Matemática . El capítulo Principio de la inducción matemática cubre una variedad de temas, incluida la verificación de la inducción y la justificación de la aplicación al considerar los números naturales como el subconjunto menos inductivo de los números reales . El ejercicio del capítulo cubre problemas relacionados con el Principio de Inducción Matemática, así como sus aplicaciones básicas.

Los temas tratados son el proceso para probar la inducción y motivar la aplicación tomando los números naturales como el subconjunto menos inductivo de los números reales. 

Los puntos principales cubiertos en CBSE Clase 11 Capítulo 4: Principio de inducción matemática son,

  • Principio de inducción matemática: el principio de inducción matemática es una de esas herramientas que se puede utilizar para probar una amplia variedad de afirmaciones matemáticas. 
  • Regla de trabajo:
    • Paso 1: Demostrar que el enunciado dado es verdadero para n = 1.
    • Paso 2: Suponga que el enunciado es verdadero para n = k.
    • Paso 3: usando la suposición hecha en el paso 2, demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1. Hemos probado que el enunciado es verdadero para n = k. Según el paso 3, también es cierto para k + 1 (es decir, 1 + 1 = 2). Repitiendo la lógica anterior, es cierto para todos los números naturales.

El capítulo 4 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre el siguiente tema:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 4

Capítulo 5: Números complejos y ecuaciones cuadráticas

Como sugiere el nombre del capítulo, los números complejos y las ecuaciones cuadráticas , este capítulo explica el concepto de los números complejos y las ecuaciones cuadráticas y sus propiedades. Los temas discutidos son la raíz cuadrada, las propiedades algebraicas, el plano argand y la representación polar de números complejos, y soluciones de ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos. 

Los temas principales tratados en este capítulo son la determinación del módulo y el conjugado de un número complejo , representando un número complejo en forma polar en el plano de Argand . La resolución de una ecuación cuadrática y el análisis del discriminante de una ecuación cuadrática también se explican en este capítulo.

Información importante útil cubierta en CBSE Clase 11 Capítulo 5-Números complejos y ecuaciones cuadráticas son,

  • Números imaginarios : la raíz cuadrada de un número real negativo se denomina número imaginario, por ejemplo, √-2, √-5, etc. La cantidad √-1 es una unidad imaginaria y se denota con ‘i’ llamada iota.

yo = √-1, yo 2 = -1, yo 3 = -i, yo 4 = 1

  • Igualdad de Número Complejo: Dos números complejos z 1 = x 1 + iy 1 y z 2 = x 2 + iy 2 son iguales, si y si x 1 = x 2 y y 1 = y 2 es decir Re(z 1 ) = Re(z 2 ) e Im(z 1 ) = Im(z 2 )

Álgebra de Números Complejos

  • Suma: Considere que z 1 = x 1 + iy 1 y z 2 = x 2 + iy 2 son dos números complejos, entonces su suma se define como

z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + yo (y 1 + y 2 )

  • Resta: Considere que z 1 = (x 1 + iy 1 ) y z 2 = (x 2 + iy 2 ) son dos números complejos, entonces su diferencia se define como

z 1 – z 2 = (x 1 + iy 1 ) – (x 2 + iy 2 ) = (x 1 – x 2 ) + i(y 1 – y 2 )

  • Multiplicación: Considere z 1 = (x 1 + iy 1 ) y z 2 = (x 2 + iy 2 ) como dos números complejos cualesquiera, entonces su multiplicación se define como

z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 – y 1 y 2 ) + yo (x 1 y 2 + x 2 y 1 )

  • División: Considere z 1 = x 1 + iy 1 y z 2 = x 2 + iy 2 como dos números complejos, entonces su división se define como

\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\dfrac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}\,\,\,\,\,\text{where}\,z_2\neq0.

Conjugado de Número Complejo : Considere z = x + iy, si ‘i’ se reemplaza por (-i), entonces se llama conjugado del número complejo z y se denota por z¯, es decir

\bar{z} = x - iy

Módulo de un Número Complejo: Considere z = x + iy ser un número complejo. Entonces, la raíz cuadrada positiva de la suma del cuadrado de la parte real y el cuadrado de la parte imaginaria se llama módulo (valores absolutos) de z y se denota por |z| es decir

|z| = √x 2 +y 2

Plano de Argand : Cualquier número complejo z = x + iy puede ser representado geométricamente por un punto (x, y) en un plano, llamado plano de argand o plano gaussiano. 

Argumento de un número complejo: El ángulo que forma la línea que une el punto z con el origen, con la dirección positiva del eje X en sentido antihorario, se llama argumento o amplitud de número complejo. Se denota con el símbolo arg(z) o amp(z).

arg(z) = θ = tan -1 (y/x)

  • Valor principal del argumento
    • Cuando x > 0 y y > 0 ⇒ arg(z) = θ
    • Cuando x < 0 y y > 0 ⇒ arg(z) = π – θ
    • Cuando x < 0 y y < 0 ⇒ arg(z) = -(π – θ)
    • Cuando x > 0 y y < 0 ⇒ arg(z) = -θ

Forma polar de un número complejo : cuando z = x + iy es un número complejo, entonces z se puede escribir como, 

  • z = |z| (cosθ + isinθ) , donde θ = arg(z).

que se conoce como la forma polar. 

Ahora, cuando el valor general del argumento es θ, entonces la forma polar de z se escribe como,

  • z = |z| [cos (2nπ + θ) + isin(2nπ + θ)] , donde n es un número entero.

El capítulo 5 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 5

Capítulo 6: Desigualdades lineales

El capítulo 6 de las notas de Class 11 Maths NCERT explica el concepto de desigualdades lineales . Las desigualdades lineales se ocupan del significado gráfico de las soluciones algebraicas de ecuaciones lineales en una y dos variables ilustradas por desigualdades lineales. Las notas de este capítulo pueden ayudar a los alumnos a desarrollar sus habilidades de visualización. Las siguientes notas cubren la resolución de desigualdades lineales, la búsqueda de la solución gráfica de ecuaciones lineales en dos variables y la traducción de problemas verbales para convertirlos en ecuaciones matemáticas.

La información importante útil proporcionada en CBSE Clase 11 Capítulo 6- Desigualdades lineales es,

  • Símbolos utilizados en las desigualdades
    • El símbolo < significa menor que.
    • El símbolo > significa mayor que.
    • El símbolo < con una barra debajo ≤ significa menor o igual que.
    • El símbolo > con una barra debajo ≥ significa mayor o igual que.
    • El símbolo ≠ significa que las cantidades en los lados izquierdo y derecho no son iguales.

El capítulo 6 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 6

Capítulo 7: Permutaciones y combinaciones

En el capítulo 7 de Class 11 Maths NCERT, se explican los conceptos de permutación (una disposición de varios objetos en un orden definido) y combinación (una colección de objetos independientemente del orden). Los temas tratados son el principio fundamental del conteo , factorial , permutaciones , combinaciones y sus aplicaciones.

Las fórmulas importantes utilizadas en CBSE Clase 11 Capítulo 7 – Permutaciones y combinaciones son,

  • Factorial : El producto continuo del primer n número natural se llama factorial ‘n’. Se denota por n! que está dado por,

¡norte! = n(n – 1)(n – 2)… 3 × 2 × 1 y 0! = 1! = 1

  • Permutaciones : la permutación se refiere a los diversos arreglos que se pueden construir tomando algunas o todas las cosas de un conjunto. El número de un arreglo de n objetos tomados r a la vez, donde 0 < r ≤ n, denotado por n P r está dado por

norte PAG r = norte! / (n−r)!

  • El número de permutaciones de n objetos de los cuales p 1 son de un tipo, p 2 son de segundo tipo,… pk son de k-ésimo tipo tales que p 1 + p 2 + p 3 + … + p k = n es

¡norte! / pág . 1 ! pág . 2 ! pág . 3 ! ….. pk !

  • Combinaciones : Las combinaciones son cualquiera de las diversas selecciones formadas al tomar algunos o todos los objetos, independientemente de su disposición. El número de r objetos elegidos de un conjunto de n objetos está indicado por n C r , y viene dado por

norte C r = norte ! / r!(n−r)!

  • Relación entre permutación y combinación: la relación entre los dos conceptos viene dada por dos teoremas como,
    • norte PAG r = norte C r r! cuando 0 < r ≤ n.
    • norte C r + norte C r-1 = n+1 C r

El Capítulo 7 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 7

Capítulo 8: Teorema del binomio

El teorema del binomio es un principio que se puede usar para responder y simplificar una variedad de problemas no solo en el capítulo anterior sino también en temas relacionados como la probabilidad . Como resultado, los estudiantes deben estar familiarizados con el teorema del binomio y cómo usarlo para desarrollar expresiones . 

El Capítulo 8 de las notas del NCERT de Matemáticas de Clase 11 analiza el teorema del binomio para números enteros positivos que se utiliza para resolver cálculos complejos. Los temas discutidos son la historia, el enunciado y la prueba del teorema del binomio y su expansión junto con el triángulo de Pascal . 

Las conclusiones importantes de CBSE Clase 11 Capítulo 8 – Teorema del binomio son,

  • Teorema del binomio : La expansión de un binomio para cualquier número entero positivo n viene dada por el Teorema del binomio, que es

(a + b) norte =  norte C 0 un norte +  norte C 1 un norte-1 segundo +  norte C2 un norte-2 segundo 2 + … +  norte C norte -1 ab n -1 +  norte C norte segundo norte

  • Algunos casos especiales del teorema del binomio se pueden escribir como:
    • (x – y) norte = norte C 0 x norte – norte C 1 x n -1 y + norte C 2 x n-2 y 2 + … + (-1) norte norte C norte x norte
    • (1 – x) norte = norte C 0 – norte C 1 x + norte C 2 x 2 – …. (-1) norte norte C norte x norte
    • norte C 0 = norte C norte = 1
  • Triángulo de Pascal : Los coeficientes de las expansiones están ordenados en una array llamada triángulo de Pascal.
  • Las Condiciones Generales de las siguientes ampliaciones son:
    • (a + b) norte  es T r +1 = norte C r un norte−r .b r
    • (a – b) n  es (-1) r n C r a n−r .b r
    • (1 + x) norte = norte C r . x r
    • (1 – x) norte = (-1) r norte C norte x r
  • Términos medios : en la expansión (a + b) n , si n es par, entonces el término medio es el (n/2 + 1) enésimo término. Si n es impar, entonces los términos medios son (n/2 + 1) th  y ((n+1)/2+1) th términos.

El capítulo 8 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 8

Capítulo 9: Secuencias y Series

Los estudiantes aprenderán sobre progresiones aritméticas y geométricas , así como también cómo se relacionan entre sí, a través de secuencias y series. Esta lección también incluye una guía paso a paso para trabajar con series especiales .

El capítulo de las notas del NCERT de Matemáticas de Clase 11: Secuencias y series analiza los conceptos de una secuencia (una lista ordenada de números) y una serie (la suma de todos los términos de una secuencia). Los temas discutidos son secuencia y serie , progresión aritmética y geométrica , y media aritmética y geométrica .

Algunas fórmulas importantes cubiertas en CBSE Clase 11 Capítulo 9- Secuencias y series son,

  • Para una serie aritmética : a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, …….a +(n-1)d
    • El primer término: a 1  = a,
    • El segundo término: a 2  = a + d,
    • El tercer término: a 3  = a + 2d,
    • El enésimo término: a n  = a + (n – 1)d
    • El n-ésimo término de un AP desde el último término es a’ n =a n – (n – 1)d.
    • a n + a’ n = constante
    • Diferencia común de un AP es decir, d = a n – a n-1 , ∀ n>1.
    • Suma de n Términos de un AP : S n = n/2 [2a + (n – 1)d] = n/2 (a 1 + a n )
      • Una secuencia es un AP si la suma de n términos es de la forma An 2 + Bn, donde A y B son constantes y A = la mitad de la diferencia común, es decir, 2A = d.

un norte =S norte – S norte-1

  • Media aritmética : si a, A y b están en AP entonces A = (a+b)/2 se llama la media aritmética de a y b. Si a 1 , a 2 , a 3 ,…… an son n números, entonces su media aritmética está dada por: A = \dfrac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}
    • La diferencia común se da como, d = (b – a)/(n + 1)
    • La Suma de n media aritmética entre a y b es, n (a+b/2).
  • Progresión geométrica (PG) : Una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos es constante se llama progresión geométrica.
    • La razón constante se llama razón común (r).
      es decir, r = un norte +1/un norte, ∀ n> 1
    • El término general o término n de GP es un n =ar n-1
    • El enésimo término de un GP desde el final es a’ n = 1/r n-1 , l = último término
    • Si a, b y c son tres términos consecutivos de un GP entonces b 2 = ac.
  • Media Geométrica (GM) : Si a, G y b están en GR entonces G se llama la media geométrica de a y b y está dada por G = √(ab).
    • Si a,G 1 , G 2 , G 3 ,….. G n , b están en GP entonces G 1 , G 2 , G 3 ,……G n están en GM entre a y b, entonces
      la razón común es: r = \izquierda(\dfrac{b}{a}\derecha)^{\dfrac{1}{n+1}}
    • Si a 1 , a 2 , a 3 ,…, an son n números distintos de cero y no negativos, entonces su GM viene dado por GM
      = (a 1 . a 2 . a 3 …a n ) 1/n
    • El producto de n GM es G 1 × G 2 × G 3 ×… × G n = G n = (ab) n/2
  • La suma de los primeros n números naturales es: Σn = 1 + 2 + 3 +… + n = n(n+1)/2
  • La suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es: Σn 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6
  • La suma de los cubos de los primeros n números naturales es: Σn 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + .. + n 3 = (n(n+1)(2n+1)/6) 2

El capítulo 9 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 9

Capítulo 10: Líneas rectas

Capítulo 10 Líneas rectas en la clase 11 es una lección fácil pero bastante confusa debido a la gran cantidad de fórmulas. Por lo tanto, le resulta difícil de entender a algunos estudiantes. Por lo tanto, nuestros expertos recomendarían a los estudiantes que primero comprendan la derivación y el concepto detrás de estas fórmulas. Luego haz la práctica constante resolviendo múltiples preguntas sobre cada uno de ellos.

Las líneas rectas definieron el concepto de línea, su ángulo, pendiente y ecuación general . Los temas discutidos son la pendiente de una línea, el ángulo entre dos líneas, varias formas de ecuaciones de línea, la ecuación general de una línea y la familia de líneas, respectivamente. 

Fórmulas importantes cubiertas en CBSE Clase 11 Capítulo 10 – Líneas rectas

AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

  • Fórmula de la sección : Las coordenadas del punto que divide el conjunto de (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) en la razón m:n internamente, es

\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\,\dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)

Y externamente es:

\left(\dfrac{mx_2-nx_1}{mn},\,\dfrac{my_2-ny_1}{mn}\right)

  • El punto medio de la unión de (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es: \izquierda(\dfrac{x_1+x_2}{2},\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\derecha) .
    • El eje X divide el segmento de línea que une (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) en la razón -y 1 : y 2 .
    • El eje Y divide el segmento de línea que une (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) en la razón -x 1 : x 2 .
  • Las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) son

\izquierda(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\,\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\derecha)

  • Área del Triángulo: El área del triángulo, las coordenadas de cuyos vértices son (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) es,

\begin{alineado}\text{Área del triángulo}&=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&x_2&1\\x_2&y_2&1\\x_3&x_2&1\end{vmatrix}\\&=\dfrac{1}{2 }\left[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right]\end{alineado}

  • Pendiente o Gradiente de Línea : La inclinación del ángulo θ a una línea con una dirección positiva del eje X en el sentido contrario a las agujas del reloj, la tangente del ángulo θ se dice que es la pendiente o gradiente de la línea y se denota por mie

m = tan θ

  • Ángulo entre dos rectas: El ángulo θ entre dos rectas que tienen pendiente m 1 y m 2 es, \text{tan}\theta=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|
    • Si dos líneas son paralelas, sus pendientes son iguales, es decir, m 1 = m 2 .
    • Si dos líneas son perpendiculares entre sí, entonces su producto de pendientes es -1, es decir, m 1 m 2 = -1.
  • Punto de intersección de dos rectas: Sea la ecuación de las rectas ax 1 + by 1 + c 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, entonces su punto de intersección es

\left(\dfrac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1},\,\dfrac{a_2c_1-a_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1}\right)

  • Distancia de un punto a una recta: La distancia perpendicular de un punto P(x 1 , y 1 ) a la recta Ax + By + C = 0 viene dada por,

d=\left|\dfrac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|

  • Distancia entre dos rectas paralelas: La distancia d entre dos rectas paralelas y = mx + c 1 y y = mx + c 2 está dada por,

d=\dfrac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{1+m^2}}

  • Diferentes formas de Ecuación de una recta :
    • Ecuación general de una línea: cualquier ecuación de la forma Ax + By + C = 0 , donde A y B no son cero al mismo tiempo, se denomina ecuación general de una línea.
    • Forma normal: La ecuación de una recta en la que la longitud de la perpendicular desde el origen es p y el ángulo formado por esta perpendicular al eje x es α, viene dada por: x cos α + y sen α = p.
    • Forma de intersección: La ecuación de una línea que corta las intersecciones a y b respectivamente en los ejes x e y viene dada por: x/a + y/b = 1.
    • Forma pendiente-intersección : La ecuación de la línea con pendiente m y que hace una intersección c en el eje y, es y = mx + c.
      • Forma de un punto-pendiente: La ecuación de una recta que pasa por el punto (x 1 , y 1 ) y tiene la pendiente m está dada por y – y 1 = m (x – x 1 ).
      • Forma dos puntos: La ecuación de una recta que pasa por los puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) viene dada por

y-y_1=\left(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)

El capítulo 10 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 10

Capítulo 11: Secciones cónicas

Las secciones cónicas van más allá en una serie de figuras, que incluyen cono , círculo , hipérbola y parábola , así como las muchas características de cada una. Se explica a los alumnos los diversos componentes de estas figuras, así como la forma de determinar sus medidas.

Los temas discutidos en el presente capítulo son las secciones de un cono , el caso degenerado de una sección cónica junto con las ecuaciones y propiedades de las secciones cónicas. 

Algunas fórmulas importantes aprendidas en CBSE Clase 11 Capítulo 11 – Secciones cónicas son,

  • La ecuación de un círculo de radio r con centro (h, k) viene dada por (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .
    • La ecuación general de la circunferencia viene dada por x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 , donde g, f y c son constantes.
    • El centro del círculo es (-g, -f).
    • El radio del círculo es r = √(g 2 + f 2 − c)
    • La ecuación paramétrica del círculo x 2 + y 2 = r 2 viene dada por x = r cos θ, y = r sin θ , donde θ es el parámetro.
    • Y la ecuación paramétrica del círculo (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 viene dada por x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.
  • Parábola : Una parábola es el conjunto de puntos P cuyas distancias desde un punto fijo F en el plano son iguales a su distancia desde una línea fija l en el plano. El punto fijo F se llama foco y la recta l es la directriz de la parábola.

Diferentes formas de parábola.

y2 = 4ax

y2 = -4ax

x 2 = 4 días

x 2 = -4 día

eje de parábola

y = 0

y = 0

x = 0

x = 0

Directriz de parábola

x = -a

x = un

y = -a

y = un

Vértice

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

Enfoque

(un, 0)

(-a, 0)

(0, un)

(0, -a)

Longitud del latus rectum

4a

4a

4a

4a

Longitud focal

|x + a|

|x – un|

|y + a|

|y – un|
  • Elipse : Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo del plano guardan una razón constante, menor que a su distancia a un punto fijo del plano. El punto fijo se llama foco, la línea fija directriz y la relación constante (e) la excentricidad de la elipse. Las dos formas estándar de elipse con sus terminologías se mencionan a continuación en la tabla:

Diferentes formas de elipse

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b

x 2 /b 2 + y 2 /a 2 = 1, a > b

Ecuación del Eje Mayor

y = 0

x = 0

Longitud del eje mayor

2a

2a

Ecuación del Eje Menor

x = 0

y = 0

Longitud del eje menor

2b

2b

Ecuación de Directrices

x = ±a/e

y = ±a/e

Vértice

(±a, 0)

(0, ±a)

Enfoque

(±ae, 0)

(0, ±ae)

Longitud del latus rectum

2b 2 /a

2b 2 /a
  • Hipérbola : Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto en un plano que se mueve de tal manera que la relación entre su distancia a un punto fijo en el mismo plano y su distancia a una línea fija es siempre constante, que siempre es mayor que la unidad. El punto fijo se llama foco, la recta fija se llama directriz y la razón constante, generalmente denotada por e, se conoce como excentricidad de la hipérbola. Las dos formas estándar de hipérbola con sus terminologías se mencionan a continuación en la tabla:

Diferentes formas de hipérbola

x2 / a2 – y2 / b2 = 1

x2 / a2 – y2 / b2 = 1

coordenadas del centro

(0, 0)

(0, 0)

Coordenadas de vértices

(±a, 0)

(0, ±a)

Coordenadas de focos

(±ae, 0)

(0, ±ae)

Longitud del eje conjugado

2b

2b

Longitud del eje transversal

2a

2a

Ecuación del eje conjugado

x = 0

y = 0

Ecuación del eje transversal

y = 0

x = 0

Ecuación de Directrices

x = ±a/e

y = ±a/e

Excentricidad (e)

√(a 2 +b 2 )/a 2

√(a 2 +b 2 )/a 2

Longitud del latus rectum

2b 2 /a

2b 2 /a

El capítulo 11 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 11

Capítulo 12: Introducción a la geometría tridimensional

En este capítulo Introducción a la geometría tridimensional de las notas del NCERT de matemáticas de clase 11, se explica que los conceptos de geometría en el espacio tridimensional. Los temas tratados son los ejes de coordenadas y planos respectivamente, coordenadas de puntos, distancia y una sección para puntos .

Los estudiantes aprenden principios geométricos como la fórmula de la distancia y la fórmula de la sección a través de una introducción a la geometría tridimensional. Ayuda a los estudiantes a comprender cómo aplicar de manera efectiva estas fórmulas para resolver problemas.

Puntos importantes cubiertos en CBSE Clase 11 Capítulo 12: Introducción a la geometría tridimensional,

  • Ejes de coordenadas : en tres dimensiones, los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son tres líneas perpendiculares entre sí. Estos ejes se denominan ejes X, Y y Z.
  • Planos de coordenadas : Los tres planos determinados por el par de ejes son los planos de coordenadas. Estos planos se denominan planos XY, YZ y ZX y dividen el espacio en ocho regiones conocidas como octantes.
  • Coordenadas de un punto en el espacio: Las coordenadas de un punto en el espacio son las distancias perpendiculares desde P en tres planos de coordenadas mutuamente perpendiculares YZ, ZX y XY respectivamente. Las coordenadas de un punto P se escriben en forma de triplete como (x, y, z). Las coordenadas de cualquier punto en:
    • El eje X tiene la forma (x, 0,0)
    • El eje Y tiene la forma (0, y, 0)
    • El eje Z tiene la forma (0, 0, z)
    • El plano XY tiene la forma (x, y, 0)
    • El plano YZ tiene la forma (0, y, z)
    • El plano ZX tiene la forma (x, 0, z)

El capítulo 12 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 12

Capítulo 13: Límites y Derivadas

El capítulo 13 de las notas de Class 11 Maths NCERT explica el concepto de cálculo que se ocupa del estudio del cambio en el valor de una función cuando el cambio ocurre en los puntos del dominio. Los temas tratados son la definición y operaciones algebraicas de límites y derivadas respectivamente. 

El Capítulo Límites y derivadas comprende temas como determinar el límite de una función en un punto , álgebra de límites , límites de funciones trigonométricas , usar la fórmula de límite para encontrar la derivada de una función y álgebra de derivadas .

Algunas fórmulas importantes cubiertas en CBSE Clase 11 Capítulo 13- Límites y derivados,

  • Límites izquierdo y derecho: si los valores de la función en el punto que está muy cerca de a a la izquierda tienden a un número único definido cuando x tiende a a, entonces el número único así obtenido se denomina límite izquierdo. de f(x) en x = a, lo escribimos como

f(a-0)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{h\to 0}f(a-h)

  • De manera similar, el límite de la mano derecha se da como,

f(a+0)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{h\to 0}f(a+h)

  • Existe un límite  \lim_{x\to a}f(x)  cuando:

\lim_{x\to a^-}f(x)  y  \lim_{x\to a^+}f(x)  ambos existen o,

\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x)

\begin{aligned}\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]&=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a} g(x)\\\lim_{x\to a}kf(x)&=k\lim_{x\to a}f(x)\\\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)&=\lim_{x\to a}f(x)\times\lim_{x\to a}g(x)\\\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\dfrac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\end{aligned}

\begin{aligned}\lim_{x\to a}\dfrac{x^n-a^n}{x-a}&=na^{n-1}\\\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}&=1\\\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}&=1\\\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}&=\log_e a\\\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}&=1\\\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}&=1\end{aligned}  

  • Derivadas : Considere una función de valor real f, tal que:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  

se conoce como la derivada de la función f en x si y solo si,

\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  existe finitamente.

\begin{aligned}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)+g(x)]&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)]\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)-g(x)]&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]-\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)]\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)\cdot g(x)]&=\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right]\cdot g(x)+f(x)\cdot\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)\right]\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right]\cdot g(x)-f(x)\cdot \left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)\right]}{[g(x)]^2}\end{aligned}

\begin{aligned}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)&=nx^{n-1}\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x)&=\cos x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x)&=-\sin x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x)&=\sec^2 x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot x)&=-\cosec^2 x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x)&=\sec x \tan x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosec x&=-\cosec x \cot x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a^x)&=a^x\log_e a\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x)&=e^x\\\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\log_e x)&=\dfrac{1}{x}\end{aligned}

El capítulo 13 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 13

Capítulo 14: Razonamiento matemático

Las habilidades de resolución de problemas matemáticos ayudan a los estudiantes a desarrollar y mejorar sus habilidades de razonamiento. Los estudiantes leerán oraciones y sacarán conclusiones lógicas de ellas en esta lección. Como sugiere el nombre, el capítulo explica los conceptos del razonamiento matemático (una habilidad crítica para analizar cualquier hipótesis dada en el contexto de las matemáticas). 

Los temas que se explican en detalle son declaraciones compuestas, la negación y la implicación de declaraciones , cómo validar declaraciones , así como declaraciones contrapositivas y recíprocas.

Los puntos importantes aprendidos en CBSE Clase 11 Capítulo 14 – Razonamiento matemático son,

  • Declaración compuesta : una declaración es una declaración compuesta si se compone de dos o más declaraciones más pequeñas. Los enunciados más pequeños se denominan enunciados componentes del enunciado compuesto. Las declaraciones compuestas son hechas por:
    • Conectivos : “Y”, “O”
    • Cuantificadores : “existe”, “Para cada”
    • Implicaciones: El significado de las implicaciones “si”, “solo si”, “si y solo si”.
  • “p ⇒ q” : 
    • p es una condición suficiente para q o p implica q.
    • q es necesario condicionar para p. El recíproco de un enunciado p ⇒ q es el enunciado q ⇒ p.
    • p⇒ q junto con su inversa da p si y solo si q.
  • “p ⇔ q”:
    • p implica q (denotado por p ⇒ q)
    • p es una condición suficiente para q
    • q es una condición necesaria para p
    • p solo si q
    • ∼q implica ∼p

El capítulo 14 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 14

Capítulo 15: Estadísticas

El capítulo 15 de Class 11 Maths es una lección muy importante desde la perspectiva del examen. Un estudiante debe repasar Estadísticas de clases anteriores y comprender y memorizar todas las fórmulas estadísticas . Además, use estas fórmulas para practicar todas las preguntas NCERT del Capítulo 15 Estadísticas .

El capítulo 15 de las notas de Class 11 Maths NCERT explica los conceptos de estadísticas (datos recopilados para propósitos específicos), dispersión y métodos de cálculo para datos agrupados y no agrupados . Los temas discutidos son rango, desviación media, varianza y desviación estándar, y análisis de distribuciones de frecuencia .

Algunas fórmulas importantes cubiertas en CBSE Clase 11 Capítulo 15- Estadísticas,

  • Rango : La medida de dispersión que es más fácil de entender y calcular es el rango. El rango se define como la diferencia entre dos observaciones extremas de la distribución.

Rango de distribución = Observación más grande – Observación más pequeña.

  • Desviación media : Desviación media para datos no agrupados. Para n observaciones x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n , la desviación media sobre su media x¯ viene dada por:

MD(\bar x)=\dfrac{\sum |x_i - \bar x|}{n}

Y, la desviación media sobre su mediana M está dada por,

MD(M)=\dfrac{\sum |x_i - M|}{n}

Desviación media para distribución de frecuencia discreta- 

MD(\bar x)=\dfrac{\sum f_i|x_i - \bar x|}{\sum f_i}=\dfrac{\sum f_i|x_i - \bar x|}{N}

  • Varianza : La varianza es la media aritmética del cuadrado de la desviación respecto a la media x¯. Sean x 1 , x 2 , ……x n n observaciones con x¯ como media, entonces la varianza denotada por σ 2 , está dada por

\sigma^2=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}

  • Desviación estándar : si σ 2 es la varianza, entonces σ se llama la desviación estándar viene dada por

\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}}

La desviación estándar de una distribución de frecuencia discreta viene dada por

\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar x)^2}{N}}

  • Coeficiente de variación: Para comparar dos o más distribuciones de frecuencia, comparamos su coeficiente de variación. El coeficiente de variación se define como

Coeficiente de variación = (Desviación estándar / Media) × 100

CV=\dfrac{\sigma}{\bar x}\times 100

El capítulo 15 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 15

Capítulo 16: Probabilidad

Class 11 Maths Probability se basa en clases anteriores al presentar a los estudiantes conceptos de probabilidad como experimentos aleatorios , resultados , espacio muestral , diferentes tipos de eventos y otros principios relacionados que constituyen la columna vertebral del capítulo.

El capítulo 16 de las notas de Class 11 Maths NCERT analiza el concepto de probabilidad (una medida de incertidumbre de varios fenómenos o la posibilidad de que ocurra un evento ). Los temas discutidos son los experimentos aleatorios , los resultados , los espacios muestrales , el evento y su tipo. 

Puntos principales cubiertos en CBSE Clase 11 Capítulo 16- Probabilidad,

  • Para cualquier experimento aleatorio , sea S el espacio muestral. La probabilidad P es una función de valor real cuyo dominio es el conjunto potencia de S y [0, 1] es el intervalo de rango. Para cualquier evento E: P(E) ≥ 0 y P(S) = 1
  • Eventos mutuamente excluyentes : Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces: P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
  • Resultados igualmente probables: todos los resultados con la misma probabilidad se denominan resultados igualmente probables. Sea S un espacio muestral finito con resultados igualmente probables y A el evento. Por lo tanto, la probabilidad de un evento A es: P(A) = n(A) / n(S), donde n(A) es el número de elementos del conjunto A y n(S) es el número total de resultados o el número de elementos en el espacio muestral S
    • Sean P y Q dos eventos cualquiera, entonces se pueden derivar las siguientes fórmulas.
      • Evento P o Q: El conjunto P ∪ Q
      • Evento P y Q: El conjunto P ∩ Q
      • Evento P y no Q: El conjunto P – Q
      • P y Q son mutuamente excluyentes si P ∩ Q = φ
      • Eventos P 1 , P 2 , . . . . . , P n son exhaustivos y mutuamente excluyentes si P 1 ∪ P 2 ∪ . . . . . ∪ PAGS n = S y mi yo ∩ mi j = φ para todo i ≠ j.

El capítulo 16 de CBSE Class 11 Maths Notes cubre los siguientes temas:

Más recursos para CBSE Clase 11 Matemáticas Capítulo 16

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Preguntas frecuentes (FAQ)

Pregunta 1: ¿Cuál es la importancia clave de las Notas NCERT de Matemáticas de Clase 11?

Responder:

Los estudiantes de la clase 11 deben estudiar para sus exámenes en casa, así como para las pruebas competitivas (IIT-JEE, BITS, etc.). Estas explicaciones de NCERT Notes brindan una interpretación paso a paso de todas las soluciones y los conceptos, aseguran que los estudiantes aprendan a escribir un examen y logren el resultado más alto posible. También incluye consejos y tácticas para resolver problemas complejos en segundos, que son muy útiles para los exámenes competitivos.

Pregunta 2: ¿Cuáles son algunos temas importantes de Class 11 Maths NCERT para los exámenes de fin de año de CBSE?

A continuación se muestra la lista de algunos capítulos/temas importantes de Class 11 Maths NCERT:

  • Teoría de conjuntos
  • Trigonometría
  • Álgebra
  • Aritmética
  • Cálculo
  • Geometría
  • Probabilidades y estadísticas
  • Sistema de numeración

Pregunta 3: ¿Cuáles son las mejores maneras de aprender los conceptos matemáticos de la clase 11 del NCERT?

Responder: 

El enfoque más fácil para estudiar los temas contenidos en las respuestas de matemáticas de la clase 11 del NCERT es comprender un tema y practicar preguntas sobre él de manera regular. Los estudiantes pueden sacar el máximo provecho de estas respuestas estudiando la materia de forma regular y asegurándose de obtener buenas notas en sus exámenes.

Pregunta 4: ¿Cuáles son las fórmulas importantes para las matemáticas de clase 11?

Responder:

Álgebra, trigonometría, ecuaciones cuadráticas, estadística y probabilidad se encuentran entre los temas que se cubren en las fórmulas matemáticas de la clase 11. Las siguientes son algunas de las fórmulas matemáticas de Clase 11 más importantes de estos temas:

  • AUB = {x: x ∈ A (o) x ∈ B}
  • A ∩ B = {x: x ∈ A (y) x ∈ B}
  • A × B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}
  • sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
  • cos(x + y) = cos(x) cos(y) – sen(x) sen(y)
  • tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1- tan(x) × tan(y))
  • sen(x – y) = sen(x) cos(y) – cos(x) sen(y)
  • cos(x – y) = cos(x) cos(y) + sen(x) sen(y)
  • bronceado(x – y) = (bronceado(x) – bronceado(y)) / (1 + bronceado(x) × bronceado (y))
  • f ´( x ) = df(x)/dx 
  • x̅ = ∑|xi – x̅| / norte
  • σ 2 = ∑fi(xi – x̅) 2 / norte

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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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