Los Números Complejos son los números de la forma (a + ib) donde a & b son los números reales e i es una unidad imaginaria llamada iota que representa √-1. Por ejemplo, 2 + 3i, es un número complejo en el que 2 es un número real y 3i es un número imaginario.
Necesidad de números complejos
Inicialmente, solo tenemos el conjunto de números naturales ( N ) que se extiende para formar un conjunto de números enteros ( I ) ya que la ecuación (x + a = b) no tiene solución para a>b donde a, b ∈ N.
Luego, este conjunto de números enteros (I) se extiende a un conjunto de números racionales ( Q ), ya que cada ecuación de la forma (xa = b) no tiene una solución única donde a ≠ 0 y a, b ∈ I.
Nuevamente, este conjunto de números enteros (Q) se extiende a un conjunto de números reales (racionales e irracionales) ( R ), ya que cada ecuación de la forma (x 2 = a) no se puede resolver donde a > 0 y a ∈ Q, es decir, x 2 = 5 porque no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 5. Por tanto, se da la noción de números irracionales a números como √2, √3, √5, etc.
Finalmente, extendimos este conjunto de números reales (R) a un conjunto de números complejos ( C ) ya que la ecuación de la forma (x 2 = a) no tiene solución donde a < 0 y a ∈ R ie x 2 + 5 = 0 porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -5. Por lo tanto, la noción de números complejos (imaginarios) se da a números como √-1, √-2, √-3, √-5, etc. donde √-1 se denomina unidad imaginaria (iota) y se representa con el símbolo i (i 2 = -1).
Clasificación de Números Complejos
Como sabemos, la forma estándar de un número complejo es z = (a + ib) donde a, b ∈ R e i es iota (una unidad imaginaria). Así que dependiendo de los valores de a ( llamada parte real ) y b ( llamada parte imaginaria ), los números complejos se clasifican en cuatro tipos:
1. Número complejo cero (a = 0 y b = 0)
Ejemplo: 0 (cero)
2. Números puramente reales (a ≠ 0 & b = 0)
Ejemplos: 2, 3, 7, etc.
3. Números puramente imaginarios (a = 0 & b ≠ 0)
Ejemplos: -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i, etc.
4. Números imaginarios (a ≠ 0 y b ≠ 0)
Ejemplos: (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i), etc.
Diferentes formas de números complejos
1. Forma rectangular también llamada Forma estándar = (a + ib)
Ejemplos: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i), etc.
2. Forma polar = r [cos(θ) + i sin(θ)]
Ejemplos: [cos(π/2) + i sin(π/2)], 5[cos(π/6) + i sin(π/6)], etc.
3. Forma exponencial =
Ejemplos: e i(0) , e i(π/2) , 5.e i(π/6) , etc.
NOTA: Las tres formas de los números complejos discutidos anteriormente son interconvertibles.
El plano complejo
El plano en el que los números complejos se representan de forma única se denomina plano complejo o plano de Argand o plano gaussiano .
El plano Complejo tiene dos ejes:
1. eje X
- Todos los números complejos puramente reales están representados de manera única por un punto en él.
- La parte real Re(z) de todos los números complejos se representa con respecto a ella.
- Es por eso que el eje X también se llama eje real .
2. eje Y
- Todos los números complejos puramente imaginarios están representados únicamente por un punto en él.
- La parte imaginaria Im(z) de todos los números complejos se traza con respecto a ella.
- Es por eso que el eje Y también se llama eje imaginario .
Representación Geométrica de Números Complejos
Como sabemos que todo número complejo (z = a + ib) está representado por un único punto p(a, b) en el plano complejo y todo punto en el plano complejo representa un único número complejo.
Para representar cualquier número complejo z = (a + ib) en el plano complejo siga estas convenciones:
- La parte real de z (Re(z) = a) se convierte en la coordenada X del punto p
- La parte imaginaria de z (Im(z) = b) se convierte en la coordenada Y del punto p
Y finalmente z (a + ib) ⇒ p (a, b) que es un punto en el plano complejo.
Ejemplo 1: Traza estos números complejos z= 3 + 2 i en el plano Complejo.
Solución:
Dado:
z= 3 + 2 yo
Entonces, el punto es z(3, 2). Ahora trazamos este punto en el siguiente gráfico, aquí en este gráfico, el eje x representa la parte real y el eje y representa la parte imaginaria.
Ejemplo 2: Trace estos números complejos z 1 = (2 + 2 i), z 2 = (-2 + 3 i), z 3 = (-1 – 3 i), z 4 = (1 – i) en el Complejo plano.
Solución:
Dado:
z 1 = (2 + 2 yo)
z 2 = (-2 + 3 yo)
z 3 = (-1 – 3 i)
z 4 = (1 – yo)
Entonces, los puntos son z 1 (2, 2), z 2 (-2, 3), z 3 (-1, -3) y z 4 (1, -1). Ahora trazamos estos puntos en el siguiente gráfico, aquí en este gráfico, el eje x representa la parte real y el eje y representa la parte imaginaria.
