Numeros racionales – Part 1

¡Incluso después de acuñar números enteros, uno no podía relajarse! 10 ÷ 5 sin duda está bien, dando la respuesta 2 pero ¿8 ÷ 5 es cómodo? Se necesitan números entre números. 8 ÷ 5 sale como 1.6 que es un número entre 1 y 2. Pero, ¿dónde está (-3) ÷ 4? Entre 0 y -1, ¿verdad? Por lo tanto, una razón formada por la división de un número entero por otro número entero se llama número racional. La colección de todos los números racionales se denota por Q.

Un número racional es un número de la forma fraccionaria a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0.

Ejemplos: 1 / 4 , 3 / 7 , (-11) / (-6)

• Todos los números naturales, enteros, enteros y fracciones son números racionales.
• Todo número racional se puede representar en una recta numérica.
• 0 no es un número racional positivo ni negativo.

¿Hay alguna diferencia entre fracciones y números racionales?

¡SÍ! Las fracciones son los números reales representados en forma de a/b, donde tanto a como b son números enteros, mientras que los números racionales son los números reales representados en forma de a/b, donde tanto a como b son números enteros . Sin embargo, en ambos casos, el denominador no debe ser igual a 0. Por lo tanto, podemos decir que todas las fracciones son números racionales, pero viceversa no es cierto.

Propiedades de los Números Racionales

Propiedad de cierre para la colección Q de números racionales

• Propiedad de cierre para la suma: para dos números racionales cualesquiera a y b , la suma a + b también es un número racional.
• Propiedad de cierre para la multiplicación:  para dos números racionales cualesquiera a y b , la suma ab también es un número racional

Ejemplo:

Tome a = 3 / 4 y b = (-1) / 2

Ahora, 

  a + b = 3 / 4 + (-1) / 2 

           = 3 / 4 + (-2) / 4 

           = (3 – 2) / 4 

           = 1/4 está en Q
 Además, 
   a * b = 3/4 * (-1)/2 

           = (-3) / 8 está en Q

La propiedad conmutativa del conjunto Q de los números racionales

• La propiedad conmutativa de la Suma: Para dos números racionales cualesquiera a y b , a + b = b + a.
• La propiedad conmutativa de la Multiplicación:  Para dos números racionales cualesquiera a y b , ab = ba.

Ejemplo:

Tome a = (-7) / 8 y b = 3 / 5
Ahora, 

 a + b = (-7) / 8 + 3 / 5 

          = -7×5 + 3×8/40

          = (-35 + 24) / 40 

          = (-11) / 40
 También   
 b + a = 3 / 5 + (-7) / 8 

          = 3 x 8 + (-7) x 5 / 40

          = (24 – 35) / 40 

          = (-11) / 40 

 Por lo tanto, la suma es conmutativa.
 Más lejos,

     ab = (-7) / 8 x 3 / 5 

          = (-7×3) / (8×5)

          = (-21) / 40
Además,

     ba = 3 / 5 x (-7) / 8 

          = (3×7) / (5×8) 

          = (-21) / 40

  Por lo tanto, la multiplicación es conmutativa.

Propiedad asociativa para la colección Q de números racionales

• Propiedad asociativa de la suma: para tres números racionales cualesquiera a , b y c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
• Propiedad asociativa para la multiplicación: para tres números racionales cualesquiera a , b y c , a (bc) = (ab)c

Ejemplo:

 Toma los números racionales a,b,c como a = -1 / 2, b = 3 / 5, c = -7 / 10
 Ahora, 

     a + b = -1 / 2 + 3 / 5 

              = -5 / 10 + 6 / 10 
              = -5 + 6 / 10 

              = 1 / 10

(a + b) + c = 1/10 + (-7)/10 

                  = 1 – 7 / 10 

                  = -6 / 10

                  = -3 / 5………………………………………………………….( 1 )

También,

        b + c = 3 / 5 + (-7) / 10

                 = 6 / 10 + (-7) / 10 

                 = 6 – 7 / 10 

                 = -1 / 10

  a + (b + c) = -1 / 2 + (-1) / 10 

                    = -5 / 10 + (-1) / 10

                    = -5 – 1 / 10 

                    = -6 / 10 

                    = -3 / 5 ………………………………………………..( 2 )

 (1) y (2) muestran que (a + b) + c = a + (b + c) es cierto para los números racionales.

Similarmente,

          un ∗ segundo = -1 / 2 ∗ 3 / 5 

                   = -3 / 10
 

    (a ∗ b)∗ c = -3 / 10 ∗ -7 / 10 

                   = -3 ∗ (-7) / 100 

                   = 21 / 100 ………………………………………………( 3 )

También,

            b∗ c = 3 / 5 ∗ (-7) / 10 

                   = -21 / 50
 un ∗ ( segundo ∗ do ) = -1 / 2 ∗ (-21) / 50

                   = 21 / 100 …………………………………….( 4 )
 

( 3 ) y ( 4 ) muestra que (a∗ b)∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) es cierto para números racionales. Por lo tanto, la propiedad asociativa se cumple para la suma y la multiplicación de números racionales. 

La propiedad de identidad para la colección Q de números racionales

• La propiedad de identidad para la Suma: Para cualquier número racional a, existe un único número racional 0 tal que 0 + a = a = a + 0 .
• La propiedad de identidad para la Multiplicación: Para cualquier número racional a, existe un único número racional 1 tal que a ∗ 1 = a = a ∗ 1.

Ejemplo:

Tome a = 3 / (-7) que es a = -3 / 7 

Ahora,
 -3/7 + 0 = -3/7 = 0 + (-3)/7

 Por lo tanto, 0 es la identidad aditiva para -3/7 

También,

 -3 / 7 ∗ 1 = -3 / 7 = 1 ∗ 3 / 7

 Por lo tanto, 1 es la identidad multiplicativa de -3 / 7. 

Propiedad inversa para la colección Q de los números racionales

• Propiedad inversa aditiva: para cualquier número racional a, existe un único número racional -a tal que a + (-a) = (-a) +  a = 0. Aquí, 0 es la identidad aditiva.
• Propiedad inversa multiplicativa: Para cualquier número racional b, existe un único número racional 1/b tal que b ∗ 1 / b = 1 / b ∗ b = 1. Aquí, 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo:

Toma un = -11 / 23 

Ahora, -a = -(-11) / 23 

             = 11 / 23
 Entonces,

  a + (-a) = -11 / 23 + 11 / 23 

               = -11 + 11 / 23

               = 0 / 23  

               =0
También,
(-a) + a = 11 / 23 + (-11) / 23 

              = 11-11 / 23 

              = 0 / 23 

              = 0

Por lo tanto, a + (-a) = (-a) + a = 0 es verdadero.
También,

Tome b = -17/29 

Ahora,

1 / b = 29 / (-17) = -29 / 17
b ∗ 1 / b = -17 / 29 ∗ -29 / 17 = 1
Además,
1 / b ∗ b = 29 / 17 ∗ -17 / 29 = 1
Por lo tanto, b ∗ 1 / b = 1 / b ∗ b = 1 es cierto. 

La propiedad distributiva para la colección Q de números racionales

El multiplicativo es distributivo sobre la suma para la colección de números racionales. Para cualesquiera tres números racionales a, b y c, la ley distributiva es   a ∗ ( b +c ) = ( a ∗ b ) + ( a ∗ c )

Ejemplo:

Toma el número racional a, b, c como a = -7 / 9, b = 11 / 18 y c = -14 / 27

Ahora,
b + c = 11/18 + (-14)/27 

         = 33 / 54 + (-28) / 54

         = 33 – 28 /54 

         = 5 / 54

un ∗ ( segundo + c ) = -7 / 9 ∗ 5 / 54 

                  = (-7) ∗ 5 / 9 ∗ 54

                  = -35 / 486………………………………………………………………………….(1) 

Además,
a ∗ b = -7 / 9 ∗ 11 / 18 

         = (-7) ∗ 11 / 9 ∗ 18 

         = -77 / 9 ∗ 9 ∗ 2
 

un ∗ c = (-7) / 9 ∗ (-14) / 27 

         = 7 ∗ 14 / 9 ∗ 9∗ 3

         = 98 / 9 ∗ 9 ∗ 3
 

(a ∗ b) + (a ∗ c) = (-77 / 9 ∗ 9 ∗ 2 ) + ( 98 / 9 ∗ 9 ∗ 3)
     

                         = (-77) ∗ 3 + 98 ∗ 2 / 9 ∗ 9 ∗ 2 ∗ 3
    

                         = -231 + 196 / 486 

                         = (-35) / 486…………………………………………………………………….(2)
 

( 1 ) y ( 2 ) muestra que a ∗ ( b + c ) = ( a ∗ b ) + ( a ∗ c ). Por lo tanto, la multiplicación es distributiva sobre la suma para la colección Q de números racionales.