Operaciones algebraicas con números complejos | Clase 11 Matemáticas

Un número complejo es un número que se puede expresar de la forma a + bi , donde a y b son números reales e i representa la unidad imaginaria, satisfaciendo la ecuación i² = −1 . Por ejemplo, 5+6i es un número complejo, donde 5 es un número real y 6i es un número imaginario. Por lo tanto, la combinación del número real y el número imaginario es un número complejo. Puede haber cuatro tipos de operaciones algebraicas en números complejos que se mencionan a continuación. Las cuatro operaciones en los números complejos incluyen:

Suma
Sustracción
Multiplicación
División

Adición de Números Complejos

Para sumar dos números complejos, basta con sumar las partes real e imaginaria correspondientes.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:

(7 + 8i) + (6 + 3i) = (7 + 6) + (8 + 3)i = 13 + 11i

(2 + 5i) + (13 + 7i) = (2 + 13) + (7 + 5)i = 15 + 12i

(-3 – 6i) + (-4 + 14i) = (-3 – 4) + (-6 + 14)i = -7 + 8i

(4 – 3i) + (6 + 3i) = (4+6) + (-3+3)i = 10

(6 + 11i) + (4 + 3i) = (4 + 6) + (11 + 3)i = 10 + 14i

Resta de Números Complejos

Para restar dos números complejos, simplemente resta las partes reales e imaginarias correspondientes.

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplos:

(6 + 8i) – (3 + 4i) = (6 – 3) + (8 – 4)i = 3 + 4i

(7 + 15i) – (2 + 5i) = (7 – 2) + (15 – 5)i = 5 + 10i

(-3 + 5i) – (6 + 9i) = (-3 – 6) + (5 – 9)i = -9 – 4i

(14 – 3i) – (-7 + 2i) = (14 – (-7)) + (-3 – 2)i = 21 – 5i

(-2 + 6i) – (4 + 13i) = (-2 – 4) + (6 – 13)i = -6 – 7i

Multiplicación de dos números complejos

La multiplicación de dos números complejos es lo mismo que la multiplicación de dos binomios. Supongamos que tenemos que multiplicar a + bi y c + di. Los multiplicaremos término a término.

(a + bi) ∗ (c + di) = (a + bi) ∗ c + (a + bi) ∗ di

= (a ∗ c + (b ∗ c)i)+((a ∗ d)i + b ∗ re ∗ −1)

= (un ∗ do – segundo ∗ re + yo(segundo ∗ do + un ∗ re))

Ejemplo 1 : Multiplica (1 + 4i) y (3 + 5i).

(1 + 4i) ∗ (3 + 5i) = (3 + 12i) + (5i + 20i ² )

= 3 + 17i − 20

= −17 + 17i

Nota: La multiplicación de números complejos con números reales o puramente imaginarios se puede hacer de la misma manera.

Ejemplo 2: Multiplica 5 y (4 + 7i).

5 ∗ (4+7i) puede verse como (5 + 0i) ∗ (4 + 7i)

= 5 ∗ (4 + 7i)

= 20 + 35i

Ejemplo 3: Multiplica 3i y (2 + 6i).

3i ∗ (2 + 6i) puede verse como (0 + 3i) ∗ (2 + 6i)

= 3i ∗ (2 + 6i)

= 6i + 18i ²

= 6i − 18

= −18 + 6i

Ejemplo 4: Multiplica (5 + 3i) y (3 + 4i).

(5+3i) ∗ (3+4i) = (5 + 3i) ∗ 3 + (5 + 3i) ∗ 4i

= (15 + 9i) + (20i + 12i ² )

= (15 − 12) + (20 + 9)i

= 3 + 29i

Repaso de Suma, Resta y Multiplicación de Números Complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(a + bi) ∗ (c + di) = ((a ∗ c − b ∗ d) + (b ∗ c + a ∗ d)i)

Conjugado de un número complejo

En dos números complejos cualesquiera, si solo difiere el signo de la parte imaginaria, se conocen como un conjugado complejo entre sí. Así, el conjugado de un número complejo a + bi sería a – bi.

$The\ complex\ conjugate\ of\ z\ is \ denoted\ by\ \bar z .$

¿De qué sirve un complejo conjugado?

$\frac{1 + 2i}{4-5i} \ this\ can\ be\ written\ as\: \frac{1 + 2i}{4-5i}*\frac{4 + 5i}{4+5i} \\ \ \\ = \frac{(1 + 2i)*(4 + 5i)}{(4-5i)*(4 + 5i)} \\ \ \\ = \frac{(4-10)+(8+5)i}{(16+25)+(20 - 20)i} \\ \ \\ = \frac{-6+13i}{16+25} \\ \ \\ = \frac{-6}{41} + \frac{13}{41}i \\$

Así podemos observar que multiplicar un número complejo por su conjugado nos da un número real. Por tanto, la división de números complejos es posible multiplicando tanto el numerador como el denominador con el complejo conjugado del denominador.

Ejemplos de conjugados complejos

$1. \ \overline {4 + 7i} = 4 - 7i \\ 2. \ \overline {-6 + 12i} = -6 - 12i \\ 3. \ \overline {34 - 7i} = 34 + 7i \\ 4. \ \overline {-15 - 7i} = - 15 + 7i$

Propiedades de los conjugados complejos

Propiedad 1:

${ \bullet } \ \bar {\bar z} = z \\ Proof: \\ Let\ z = a + ib .\ Then\ by\ definition, (conjugate of z) = a - ib. \\ Therefore, (conjugate\ of\ \bar z ) = a + ib = z$

Propiedad 2:

${ \bullet } \ \overline {z1+z2} = \overline {z1} + \overline {z2} \\ Proof: \\ If\ z1 = a + ib\ and\ z2 = c + id\ then\ \overline {z1} = a - ib \ and\ \overline {z2} = c - id \\ Now, z1 + z2 = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d) \\ Therefore, \overline {z1+z2} = a + c - i(b + d) \\ = a - ib + c - id \\ = \overline {z1} + \overline {z2}$

Propiedad 3:

${ \bullet } \ \overline {z1-z2} = \overline {z1} - \overline {z2} \\ Proof: \\ If\ z1 = a + ib\ and\ z2 = c + id\ then\ \overline {z1} = a - ib \ and\ \overline {z2} = c - id \\ Now, z1 + z2 = a + ib - (c + id) = (a- c) + i(b - d) \\ Therefore, \overline {z1-z2} = a - c - i(b - d) \\ = (a - ib) - (c - id) \\ = \overline {z1} - \overline {z2}$

Propiedad 4:

${ \bullet } \ \overline {z1*z2} = \overline {z1}*\overline {z2} \\ Proof: \\ If\ z1 = a + ib\ and\ z2 = c + id\ then\ \overline {z1} = a - ib \ and\ \overline {z2} = c - id \\ Now, z1*z2 = a + ib - (c + id) = (ac-bd) + i(bc + ad) \\ Therefore, \overline {z1*z2} = (ac-bd) - i(bc+ ad) \\ Also,\ \overline {z1}*\overline {z2} = (a - ib)(c - id) = (ac - bd) - i(bc + ad)$

Propiedad 5:

${ \bullet } \ \overline {(\frac{z1}{z2})} = \frac{\overline {z1}}{\overline {z2}} ,\ provided\ z2\neq 0 \\ Proof: \\ According\ to\ the\ problem \\ z2 ≠ 0 ⇒ \overline {z2} ≠ 0 \\ Let, \frac{z1}{z2} = z3 \\ z1 = z2*z3 \\ ⇒ \overline {z1} = \overline {z2*z3} \\ ⇒ \overline {z1} = \overline {z2}*\overline {z3} \\ ⇒ \frac{\overline {z1}}{\overline {z2}} = \overline {z3} \\ \ \\ ⇒ \overline {(\frac{z1}{z2})} = \frac{\overline {z1}}{\overline {z2}}, [Since\ z3 = \frac{z1}{z2}]$

División de dos números complejos

La división de números complejos se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \\ \ \\ = \frac{(ac+bd)+ (bc-ad)i}{c^2+d^2} \\ \ \\ = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \\$

Ejemplo 1:

${ \bullet } \ \frac{2 + 5i}{3+4i} \\ \ \\ = \frac{2 + 5i}{3+4i}*\frac{3- 4i}{3-4i} \\ \ \\ = \frac{(2 + 5i)*(3- 4i)}{(3+4i)*(3 -4i)} \\ \ \\ = \frac{(6+20)+(15-8)i}{(9+16)+(12- 12)i} \\ \ \\ = \frac{26+7i}{25} \\ \ \\ = \frac{26}{25} + \frac{7}{25}i \\$

Ejemplo 2:

${ \bullet } \ \frac{4 + 2i}{-1+i} \\ \ \\ = \frac{4 + 2i}{-1+i}*\frac{-1-i}{-1-i} \\ \ \\ = \frac{(4 + 2i)*(-1- i)}{(-1+i)*(-1 -i)} \\ \ \\ = \frac{(-4+2)+(-2-4)i}{(1+1)+(1- 1)i} \\ \ \\ = \frac{-2-6i}{2} \\ \ \\ = \frac{-2}{2} - \frac{6}{2}i \\ = -1 -3i$

Ejemplo 3:

${ \bullet } \ \frac{-2}{1+i} \\ \ \\ = \frac{-2}{1+i}*\frac{1-i}{1-i} \\ \ \\ = \frac{-2*(1- i)}{(1+i)*(1 -i)} \\ \ \\ = \frac{-2+2i}{(1+1)+(1- 1)i} \\ \ \\ = \frac{-2+2i}{2} \\ \ \\ = \frac{-2}{2} + \frac{2}{2}i \\ = -1 + i$

Ejemplo 4:

${ \bullet } \ \frac{4 + 5i}{2i} \\ \ \\ = \frac{4 + 5i}{2i}*\frac{-2i}{-2i} \\ \ \\ = \frac{(4 + 5i)*-2i}{-4i^2} \\ \ \\ = \frac{10-8i}{4} \\ \ \\ = \frac{10-8i}{4} \\ \ \\ = \frac{10}{4} - \frac{8}{4}i \\ \ \\ = \frac{5}{2} -2i$

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Artículo escrito por krm24 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA