Operaciones con Números Reales

Los números reales son aquellos números que son una combinación de números racionales y números irracionales en el sistema numérico de las matemáticas. Todas las operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación, etc. se pueden realizar en estos números. Además los números imaginarios no son números reales. Los números imaginarios se utilizan para definir números complejos. Para obtener números reales, primero, tenemos que entender los números racionales y los números irracionales. Los números racionales son aquellos números que se pueden escribir como p/q donde p es el numerador y q es el dominador y p y q son números enteros. Por ejemplo, 5 se puede escribir como 5/1, por lo que es un número racional y los números irracionales son aquellos números que no se pueden escribir en forma de p/q. 

Por ejemplo, √3 es un número irracional, se puede escribir como 1.73205081 y continuo hasta el infinito, y no se puede escribir en forma de fracción y es una forma no terminante y decimales no periódicos. Y si se combinan números racionales y números irracionales se convierten en números reales.

Ejemplo: 12, -8, 5,60, 5/1, π(3,14) etc.

Los números reales pueden ser positivos y negativos, y se denotan por R. Todos los decimales, números naturales y fracciones pertenecen a esta categoría.

Operaciones con Números Reales

Las cuatro operaciones matemáticas básicas suma, división, multiplicación y resta. Ahora entenderemos estas operaciones con números racionales e irracionales.

Operación con dos números racionales

Cuando realizamos operaciones aritméticas en dos números racionales como suma, resta, división y multiplicación, el resultado será números racionales.

Ejemplo:

0,25 + 0,25 = 0,50 se puede escribir como 50/100, que es la forma de p/q.

0,20 – 0,10 = 0,10 se puede escribir como 10/100, que es la forma de p/q.

0,4 multiplicado por 184 es 73,6 y se puede escribir como 736/10.

0,252 dividido por 0,4 es 0,63 y se puede escribir como 63/100.

Operaciones con dos números irracionales

Cuando realizamos operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación o división en dos números irracionales, el resultado puede ser números racionales o números irracionales.

Ejemplo:

√2 + √3 = 3,14 se puede escribir como 314/100, que es un número racional.

√3 – √3 = 0 o 5√4 – 4√3 = 3,07 que se puede escribir como 307/100 que es un número racional.

Cuando √5 se multiplica por √5, obtenemos 5, que es un número racional o cuando √3 se multiplica por √5, obtenemos √15, que es un número irracional. Cuando √8 se divide por √8 obtenemos 8 que es un número racional o si √5 se divide por √3 entonces obtenemos (√5)/(√3) que es un número irracional.

Operación sobre un número racional y un número irracional

Suma

Cuando sumamos un número irracional y un número racional, el resultado será un número irracional. Cuando se suma 3 a 2√5, el resultado será un número irracional.

Sustracción

Cuando restamos un número irracional y un número racional, el resultado será un número irracional. Cuando 5√6 se resta a 3, el resultado será un número irracional.

Multiplicación

Cuando realizamos esta operación el resultado puede ser irracional o racional. Cuando 3 se multiplica por √5, el resultado será 3√5, que es un número irracional y si √12 se multiplica por √3, el resultado será √36 y se puede escribir como 6, que es un número racional.

División

Un número racional se divide por un número irracional o viceversa entonces el resultado será siempre un número irracional. Cuando 4 se divide por √2, los resultados serán 4√2, que es un número irracional.

Propiedades de los Números Reales

Tenemos cuatro propiedades que son propiedad conmutativa, propiedad asociativa, propiedad distributiva y propiedad de identidad. Considere que a, b y c son tres números reales. Entonces estas propiedades se pueden describir como

Propiedad conmutativa

Si a y b son los números, entonces a + b = b + a para la suma y a × b = b × a para la multiplicación.

Suma: 

a + b = b + a;

5 + 6 = 6 + 5

Multiplicación: 

a × b = b × a; 

4 × 2 = 2 × 4

Propiedad asociativa

Si a, b y c son los números reales entonces la forma será

a + (b + c) = (a + b) = c para suma y (ab)c = a(bc) para multiplicación

Suma: 

a + (b + c) = (a + b) = c ; 

5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2

Multiplicación: 

(ab)c = a(bc) ; 

(4×2)×6 = 4×(2×6)

Propiedad distributiva

Si a, b y c son los números reales, entonces la forma final será

a (b + c) = ab + ac y (a + b) c = ac + ab

5 (2+3)=5×2+5×3 la respuesta será 25 tanto para el término izquierdo como para el derecho.

Propiedad de identidad

Suma: a + 0 = 0 (0 es la identidad aditiva)

Multiplicación: a×1=1×a=1 (1 es identidad multiplicativa)

Numeros reales

Números racionales: 4/5, 0,82

Números enteros: {… – 3, -2, -1,0,1,2,3…}

Números enteros: {0,1,2,3…}

Números naturales: {1,2,3…}

Números irracionales: √2, π, 0,102012…

Problemas de muestra

Pregunta 1. Demuestra que 3√7 es un número irracional.

Solución:

Supongamos, por el contrario, que 7√7 es racional.

Es decir, podemos encontrar coprimos a y b (b ≠ 0) tales que 7√7 = ab

Reordenando, obtenemos √7 = ab/7

Dado que 7, a y b son números enteros, ab/7 es racional y, por lo tanto, √7 es racional.

Pero esto contradice el hecho de que √7 es irracional.

Entonces, concluimos que 7√7 es irracional.

Pregunta 2. Explique por qué (17 × 5 × 13 × 3 × 7 + 7 × 13) es un número compuesto.

Solución:

17 × 5 × 13 × 3 × 7 + 7 × 13 …(yo)

= 7 × 13 × (17 × 5 × 3 + 1)

= 7 × 13 × (255 + 1)

= 7 × 13 × 256

El número (i) es divisible por 2, 11 y 256, tiene más de 2 factores primos.

Por lo tanto, (17 × 5 × 13 × 3 × 7 + 7 × 13) es un número compuesto.

Pregunta 3. Demuestra que 3 + 2√3 es un número irracional.

Solución:

Supongamos por el contrario, que 3 + 2√3 es racional.

Para que podamos encontrar los números enteros a y b (b ≠ 0).

Tal que 3 + 2√3 = ab, donde a y b son coprimos.

Reordenando las ecuaciones, obtenemos que a y b son números enteros, obtenemos que a ² b−32 es racional y, por lo tanto, √3 es racional.

Pero esto contradice el hecho de que √3 es irracional.

Entonces concluimos que 3 + 2√3 es irracional.