Operaciones en conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Los objetos pueden ser números, alfabetos, nombres de personas, etc. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas como A, B, etc. Por ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}
A es un conjunto de vocales en el alfabeto inglés

Tres puntos importantes a seguir

La colección de objetos debe estar bien definida . Significa que deberíamos poder decir qué pertenece al conjunto y qué no. Por ejemplo:

B = colección de buenos estudiantes no es un conjunto
porque no conocemos los criterios para buenos estudiantes. Por lo tanto, existe cierta ambigüedad en cuanto a 
qué estudiantes pertenecen al conjunto y cuáles no.

Los conjuntos se escriben sin elementos duplicados. Por ejemplo:

A = {1, 1, 2, 2, 3} debe escribirse como A = {1, 2, 3}

El orden de los elementos no importa. Por ejemplo: 

A = {1, 2, 3} = {3, 2, 1} 

Representación

Los conjuntos se pueden representar de dos maneras.

forma de tostador

En forma de tostador, los elementos se enumeran entre un par de llaves. Los elementos están separados por comas.

Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u} es un conjunto de vocales, representadas en forma de tostador

Formulario de creación de conjuntos

En la forma de creación de conjuntos, un elemento general y la propiedad común de los elementos del conjunto se especifican entre un par de llaves.

Ejemplo: 

A = {x: x es una vocal en el alfabeto inglés} 

aquí, x es el elemento general y la propiedad común de los elementos se especifica
después de los dos puntos ( : símbolo )

Operaciones en conjuntos

Intersección y Unión de Conjuntos  

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B es un conjunto que contiene todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. Formalmente se escribe como 

En la siguiente imagen, el área sombreada es la intersección de los conjuntos A y B

Ejemplo: 

Si A = {2, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 3, 4, 5}
entonces la intersección del conjunto A y B es el conjunto A ∩ B = {2, 3, 5} 

En este ejemplo, 2, 3 y 5 son los únicos elementos que pertenecen a los conjuntos A y B. 

Unión

Unión de dos conjuntos A y B es un conjunto que contiene todos los elementos que están en A o en B o en ambos A y B. Formalmente se escribe como 

En la siguiente imagen, el área sombreada es la unión de los conjuntos A y B.

Ejemplo: 

Si A = {2, 4, 8} y B = {2, 6, 8}
entonces la unión de A y B es el conjunto A ∪ B = {2, 4, 6, 8}

En este ejemplo, 2, 4, 6 y 8 son los elementos que se encuentran en el conjunto A o en el conjunto B o en ambos conjuntos A y B

Subconjunto y subconjunto propio

Subconjunto

Para dos conjuntos A y B, A es un subconjunto de B si cada elemento en A también está en B. A puede ser igual a B. Esto se escribe formalmente como  

En la siguiente imagen, el conjunto A es un subconjunto de B

Ejemplo: 

Si A = {2, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
entonces A es un subconjunto de B

En este ejemplo, A es un subconjunto de B, porque todos los elementos de A también están en B

Notas: 

1. Un conjunto vacío (o conjunto nulo) es un subconjunto de todo conjunto.

Ejemplo: 

∅ es un subconjunto del conjunto {1, 2, 3, 4}

2. Para un conjunto A, el número de subconjuntos posibles es 2 ^|A| . donde |A| = número de elementos en A.

Ejemplo: 

Para el conjunto C = {1, 2, 3}, hay 2 ³ = 8 subconjuntos posibles
que son ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, { 1, 3}, {1, 2, 3}

Subconjunto propio (también llamado subconjunto estricto)

Para dos conjuntos A y B, A es un subconjunto propio de B, si A es un subconjunto de B y A no es igual a B. Formalmente se escribe como 

Ejemplo: 

Para un conjunto B = {1, 2, 3},
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} son todos subconjuntos propios de B
Tenga en cuenta que {1, 2, 3} no es un subconjunto propio de B, porque son iguales

Superconjunto y Superconjunto propio

Superconjunto

Para dos conjuntos A y B, si A es un subconjunto de B, entonces B es el superconjunto de A. A puede ser igual a B. Formalmente se denota como 

En la siguiente imagen, el conjunto B es el superconjunto del conjunto A

Ejemplos: 

• Si A = {2, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
  entonces B es el superconjunto de A, porque A es un subconjunto de B
   
• Si A = {11, 12} y B = {11, 12} entonces B es el superconjunto de A

Superconjunto adecuado (también llamado superconjunto estricto)

Para dos conjuntos A y B, si A es un subconjunto de B y A no es igual a B, entonces B es el superconjunto propio de A. Formalmente se escribe como 

Ejemplos: 

• Si A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
  entonces B es un superconjunto propio de A, porque A es un subconjunto de B y A ≠ B  
   
• Si A = {2, 4, 6} y B = {2, 4, 6} entonces B no es un superconjunto propio de A, porque A = B 

Complemento relativo o diferencia entre conjuntos

El complemento relativo o diferencia de conjuntos de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A pero no en B. Formalmente esto se escribe como 

A veces esto también se escribe como A \ B. En la siguiente imagen, el área sombreada representa el conjunto de diferencia del conjunto A y el conjunto B

Nota:  A – B es equivalente a A ∩ B’, es decir, A – B = A ∩ B’

Ejemplo: 

Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {2, 3, 5, 7}
entonces A – B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
y siguientes B – A = ∅

Conjunto Universal y Complemento Absoluto

conjunto universal

Un conjunto universal es el conjunto de todos los objetos actualmente bajo consideración. Por lo general, se denota con la letra U mayúscula. Por ejemplo, para un conjunto de vocales, el conjunto universal puede ser el conjunto de alfabetos.

Nota: Un conjunto es siempre un subconjunto del conjunto universal. 

complemento absoluto

El complemento absoluto de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que están en U pero no en A. Se denota como A’. En la siguiente imagen, el área sombreada representa el complemento del conjunto A

El complemento absoluto a veces se llama simplemente complemento.

Nota: A’ es equivalente a U – A, es decir, A’ = U – A

Ejemplo: 

Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A = {1, 2, 3}
entonces A’ = {4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10} = U – A

Reunir las operaciones de conjuntos

leyes de de morgan

1. El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos
   , es decir, (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
2. El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos
   , es decir, (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Fórmula para la Cardinalidad de Unión e Intersección

La fórmula para la Cardinalidad de Unión e Intersección se da a continuación:

∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣ 

Prueba:

Podemos escribir
    |A ∪ B| = |A – B| + |A ∩B| + |B – A| —- por la suma de conjuntos disjuntos, consulte el diagrama de Venn anterior
    |A ∪ B| = (|A| – |A ∩ B|) + |A ∩ B| + |B – A| —- Sustituir |A – B| = |A| – |A∩B|
    |A ∪ B| = |A| + |B – A| —- Simplificar
    |A ∪ B| = |A| + |B| – |A∩B| —- Sustituir |B – A| = |B| – |A ∩B|)

Problemas Prácticos de Unión e Intersección de Dos Conjuntos

Problema 1: Hay 100 estudiantes en una clase, 45 estudiantes dijeron que les gustaban las manzanas y 30 de los estudiantes dijeron que les gustaban tanto las manzanas como las naranjas. Cada alumno tiene que elegir al menos una de las dos frutas. Encuentra a cuántos estudiantes les gustan las naranjas.

Solución:

Sea U = conjunto de todos los estudiantes de la clase
      A = conjunto de estudiantes a los que les gustan las manzanas
      B = conjunto de estudiantes a los que les gustan las naranjas

Dado: 
    |A| = 45
    |A ∩ B| = 30
    |U| = |A ∪ B| = 100 (porque cada estudiante tiene que elegir)

Necesitamos encontrar a cuántos les gustan las naranjas. es decir, |B|

La fórmula a utilizar es,
    |A ∪ B| = |A| + |B| – |A∩B| –(i)

Restar |A| – |A∩B| de ambos lados en (i) para obtener
    |A ∪ B| – (|A| – |A ∩ B|) = |B|
o |B| = |A ∪ B| – (|A| – |A ∩ B|)

Sustituye los valores dados y simplifica,
    |B| = |A ∪ B| – (|A| – |A ∩ B|)
         = 100 – ( 45 -30 )
         = 85

Por lo tanto, el número de estudiantes a los que les gustan las naranjas es 85.

Problema 2: Hay un total de 120 estudiantes en una clase. 70 de ellos estudian matemáticas, 40 estudian ciencias y 10 estudiantes estudian tanto matemáticas como ciencias. Encuentre el número de estudiantes que
    i) estudian matemáticas pero no ciencias
    ii) estudian ciencias pero no matemáticas
    iii) estudian matemáticas o ciencias

Solución:  

Sea,
   U = conjunto de todos los estudiantes de la clase
   M = conjunto de estudiantes que estudian matemáticas
   S = conjunto de estudiantes que estudian ciencias

Nuestro conjunto universal aquí tiene 120 estudiantes, es decir, |U| = 120

Dado,
    |M| = 70
    |S| = 40
    |M ∩ S| = 10 (número de estudiantes que estudian tanto matemáticas como ciencias)

i) Encontrar el número de estudiantes que estudian matemáticas pero no ciencias. En la siguiente imagen, el área sombreada representa el conjunto de estudiantes que estudian matemáticas pero no ciencias.

Estamos obligados a encontrar |M – S|
Por el diagrama de Venn, podemos ver que |M – S| se puede escribir como |M| – |M ∩ S|
así,
    |M – S| = |M| – |M ∩ S|
               = 70 – 10
               = 60

Por lo tanto, el número de estudiantes que estudian matemáticas pero no ciencias es 60

ii)  Encontrar el número de estudiantes que estudian ciencias pero no matemáticas. En la siguiente imagen, el área sombreada representa el conjunto de estudiantes que estudian ciencias pero no matemáticas

Estamos obligados a encontrar |S – M|
Por el diagrama de Venn, podemos ver que |S – M| se puede escribir como |S| – |M ∩ S|
así,    
    |S – M| = |S| – |M ∩ S|
               = 40 – 10
               = 30

Por lo tanto, el número de estudiantes que estudian ciencias pero no matemáticas es 30

iii) Encontrar el número de estudiantes que estudian matemáticas o ciencias. En la siguiente imagen, el área sombreada representa el conjunto de estudiantes que estudian matemáticas o ciencias.

Estamos obligados a encontrar |M ∪ S|
Usando la fórmula, |M ∪ S| = |M| + |S| – |M ∩ S|
    |M ∪ S| = |M| + |S| – |M ∩ S|
                 = 70 + 40 – 10
                 = 100

Por lo tanto, el número de estudiantes que estudian ciencias o matemáticas es 100.