Pendiente de una línea recta | Clase 11 Matemáticas

En matemáticas, la pendiente o gradiente de una línea es un número que describe tanto la dirección X e Y como la inclinación de la línea. La pendiente se indica con ‘ m ‘. La pendiente se calcula encontrando la relación entre el «cambio vertical» y el «cambio horizontal» entre dos puntos distintos en una línea. A veces, la razón se expresa como un cociente que da el mismo número por cada dos puntos distintos en la misma línea.

Una recta si es creciente y sube de izquierda a derecha. La pendiente es positiva, m > 0.
Una recta si es decreciente y desciende de izquierda a derecha. La pendiente es negativa, m < 0.
Si la recta es horizontal la pendiente es cero y es una función constante.
Si una línea es vertical, entonces la pendiente no está definida.

En lenguaje matemático, la pendiente m de la recta es

$m=\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1 )}$

La pendiente m de la línea está relacionada con su ángulo de inclinación θ por la función tangente, m = tan(θ)

Así, una línea ascendente de 45 grados tiene una pendiente de +1 y una línea descendente de 45 grados tiene una pendiente de -1.

Formulario de intercepción de pendiente

La ecuación lineal escrita en la forma como

y = mx + c

En la forma pendiente-intersección donde:

M es la pendiente y c es el intercepto en y

Ejemplos de ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección:

y = 2x + 2

y = 7x – 5

y = 12x + 9

Los coeficientes en forma de pendiente-intersección

La ventaja de la forma pendiente-intersección es que da dos características principales de la línea:

la pendiente es m
La coordenada y del intercepto en y es b. el intercepto en y de la recta en (0,b)

Por ejemplo: una línea y = 3x + 1 tiene pendiente m como 3 y y – intersección en (0,1)

Esta forma da la pendiente (m) y la intersección y es la razón por la que se llama forma pendiente-intersección.

Forma de un punto-pendiente

Si conoce la pendiente m de la línea y un punto (x ₁ , y ₁ ) en la línea, entonces puede escribir la ecuación como y – y ₁ = m (x – x ₁ ) de la línea en forma de pendiente.

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

Esta ecuación es útil cuando conocemos un punto en la línea y la pendiente de la línea (m) y queremos obtener los otros puntos en la línea.

Comenzando con la pendiente,

$m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}$

Reorganizando así y – y ₁ = m (xx ₁ )

Por ejemplo:

Pendiente, m = 8/2 = 4

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

Conocemos la pendiente m = 4 y el punto (x ₁ , y ₁ ) = (4,2)

Ahora poniendo estos valores en la ecuación

y-2 = 4 (x-4)

Asi que; y-2 = 4x-16

y = 4x – 16 +2

y = 4x – 14

Forma de dos puntos y pendientes

Dos puntos que se da y pasa por dos puntos, dice (x1, y1) y (x2, y2). Llamamos a esta forma de dos puntos de la ecuación de la línea.

Y ecuación de forma de dos puntos dada como

$y-y_{1}= \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x)}\times (x-x_1 )$

Esta ecuación se usa cuando hay dos puntos en línea.

Como los puntos A, B y C están en la misma línea

Pendiente de AC = pendiente AB

Ahora usando la fórmula de la pendiente de dos puntos:

$\frac{(y-y_{1})}{(x-x_{1})}=\frac{(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}$

Multiplicando ambos lados por (x – x ₁ )

$y-y_{1}= \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x)}\times (x-x_1 )$

Ejemplo:

Dos puntos dados (x ₁ , y ₁ ) y (x ₂ , y ₂ ) son A (2,3) y B (5,7)

$y-y_1= \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\times (x-x_1 )$

$y-3= (7 -3)/(5-2) (x-2)$

$y-3= \frac{(7-3)}{(5-2)}\times (x-2)$

$y-3= \frac{(4)}{(3)}\times (x-2)$

3y-9 = 4x-8

3y = 4x+1

Forma normal de pendiente

La ecuación de la recta cuya longitud de la perpendicular desde el origen es p y el ángulo que forma la perpendicular con el eje x positivo está dado por α viene dada por:

x cos α + y sen α = p

Esto se conoce como la forma normal de la línea.

En el caso de la forma general de la recta Ax + By + C = 0 se puede representar en forma normal como:

$A cos α = B sin α = - p$

De esto podemos decir que $cos α = \frac{(-p)}{(A)}$ y $sin α = \frac{(-p)}{(B)}$

Asimismo, se puede inferir que,

$cos2α + sin2α = \frac{(p)}{(A)}^{2}+ \frac{(p)}{(B)}^{2}$

$1 = p^{2} \frac{(A^2 + B^2)}{(A^2. B^2)}$

⇒ $p=\frac{A.B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

De la ecuación general de una recta Ax + By + C = 0, podemos concluir lo siguiente:

• La pendiente viene dada por -A/B, dado que B ≠ 0.

• El intercepto en x viene dado por -C/A y el intercepto en y viene dado por -C/B.

• De la discusión anterior se puede ver que:

$p=&pm;\frac{A.B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} ,$

$cosα=&pm;\frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} ,$

$sinα=&pm;\frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

• Si se dice que dos puntos (x ₁ , y ₁ ) y (x ₂ , y ₂ ) están del mismo lado de la línea Ax + By + C = 0, entonces las expresiones Ax ₁ + By ₁ + C y Ax ₂ + Por ₂ + C tendrá el mismo signo o estos puntos estarían en los lados opuestos de la línea.

Cálculo de la pendiente a partir de un gráfico

Para calcular la pendiente, la fórmula se da como:

$m=\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1 )}$

Dónde,

m es la pendiente de la recta.

x ₁ , x ₂ son las coordenadas del eje x, y

y ₁ , y ₂ son las coordenadas del eje y.

Ejemplo 1:

Solución:

Tenemos que encontrar Δx y Δy (cambio en x y cambio en y)

Entonces el cambio en Δx es 6 y el cambio es Δy -3

Ahora la pendiente m es

$m=\frac{(Δy)}{(Δx)}$

$m=\frac{(6)}{(-3)} = -2$

Graficar una línea usando el punto y la pendiente dados:

Grafique el punto dado.

Usa la fórmula de la pendiente para identificar la subida y la carrera.

Comenzando en el punto dado, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto.

Conecta los puntos con una línea.

Ejemplo 2: Representa gráficamente la recta que pasa por el punto (1, -2) y la pendiente m es $\frac{3}{4}$

Solución:

Trazar el punto dado (1, -2)

Ahora, usa la fórmula de la pendiente para identificar la subida y la carrera.

Hemos dado pendiente m es $m=\frac{(3)}{(4)}$

$m=\frac{(Rise)}{(Run)}$

$m=\frac{(3)}{(4)}=\frac{(Rise)}{(Run)}$

Entonces, rise es igual a 3 y run es igual a 4

Comenzando en el punto que trazamos, cuente la elevación y corra para marcar el segundo punto. Contamos 3 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha.

Luego conectamos los puntos con una flecha de dibujo de línea en los extremos para mostrar que continúa.

Podemos verificar nuestra línea comenzando en cualquier punto y contando hacia arriba 3 y hacia la derecha 4. Deberíamos llegar a otro punto de la línea.

Cálculo de pendientes a partir de tablas

Para calcular la pendiente,

Identifique el cambio en cada par consecutivo de valores de Y en la tabla.
Identifique el cambio en cada par consecutivo de valores de X en la tabla.
Escribe una razón que muestre este cambio vertical correspondiente y el cambio horizontal.

Ejemplo:

X	y
2	5
3	10
4	15
5	20

Solución:

Identifique el cambio en cada par consecutivo de y para que el cambio en y sea 5, 5 y 5.

Identifique el cambio en cada par consecutivo de x para que el cambio en x sea 1, 1 y 1.

Ahora escribe la razón usando la fórmula de la pendiente $\frac{5}{1}$ , $\frac{5}{1}$ y $\frac{5}{1}$ .

Simplificando cada valor que obtenemos $\frac{5}{1}$ , $\frac{5}{1}$ y $\frac{5}{1}$ . Así que la pendiente de la tabla es $\frac{5}{1}$ .

Ejemplo: Encuentra el punto de pendiente si los puntos son (4, 2) y (8, 12).

Solución:

Dado

Punto A (4,2) y punto B (8,12)

La coordenada x ₁ y y ₁ es 4 y 2

La coordenada x ₂ y y ₂ es 8 y 12

Ahora usando la fórmula de la pendiente para dos puntos dados

$m=\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1 )}$

$m=\frac{(12-2)}{(8-4)}$

$m=\frac{(10)}{(4)} = 2.5$

REVISIÓN DE PENDIENTE:

¿Qué es pendiente?

La pendiente se mide como la inclinación de una línea.

$m=\frac{(Rise)}{(Run)} =\frac{(Δy)}{(Δx)} =$ Cambio en y y cambio en x.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Encuentra la pendiente de los puntos (1,2) y (2,3).

Solución:

m = (y ₂ – y ₁ )/(x ₂ – x ₁ )

= (3 – 2)/(2 – 1)

= 1

Pregunta 2. Encuentra el valor de x si la pendiente es 2 y los puntos son (2,2) y (x,6).

Solución:

m = (y ₂ – y ₁ )/(x ₂ – x ₁ )

= (6 – 2)/(x – 2)

4 = 2(x-2)

x-2 = 2

x = 4

Pregunta 3. Encuentra el valor de y si la pendiente es 3 y los puntos son (2,13) y (4,y).

Solución:

m = (y ₂ – y ₁ )/(x ₂ – x ₁ )

= (y – 13)/(4 – 2)

y-13 = 3(2)

y-13 = 6

y = 6 + 13 = 19

Pregunta 4. Encuentra la línea que pasa por las coordenadas (2,5) y la pendiente de la línea es 5.

Solución:

Pendiente m = 4

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

Conocemos la pendiente m = 5 y el punto (x ₁ , y ₁ ) = (2,5)

Ahora poniendo estos valores en la ecuación

y-5 = 5 x (x-2)

Asi que; y-5 = 5x-10

y = 5x – 10 + 5

y = 5x -5

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por dheerajhinaniya y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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Los coeficientes en forma de pendiente-intersección

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