Polinomios en una variable – Polinomios | Clase 9 Matemáticas

Polinomio se originó de las palabras «poli» que significa «muchos» y la palabra «nomio» que significa «término». En matemáticas, una expresión polinomial consta de variables que también se conocen como indeterminadas y coeficientes . Los polinomios son expresiones con uno o más términos con un coeficiente distinto de cero. Un polinomio puede tener más de un término. En el polinomio, cada expresión que contiene se llama término. Supongamos que x ² + 5x + 2 es un polinomio, entonces las expresiones x ² , 5x y 2 son los términos del polinomio. Cada término del polinomio tiene un coeficiente. Por ejemplo, si 2x + 1 es el polinomio, entonces el coeficiente de x es 2. Pero en este artículo vamos a discutir el polinomio en una variable. En general, 

Las expresiones algebraicas con una sola variable se conocen como Polinomios en una variable.

Ejemplos:

1. P(x) = 4x – 3
2. G(y) = y ⁴ – y ² + 2y + 9

Grado de Polinomios

El exponente más alto de la variable en la expresión algebraica se llama Grado de un Polinomio.

Ejemplos

1. P(x) = x ³ – 5x ² + 9x + 16     (Grado = 3, porque el exponente más alto es 3 aquí)
2. Q(x) = 5       (Grado = 0)

Evaluar polinomios

 El valor de un polinomio en un valor dado de la variable se denomina evaluación del polinomio.

Ejemplos

Pregunta 1: ¿Evalúa el polinomio x ² + 3?

Solución: 

Sea, p(x) = x ² + 3 

El valor del polinomio en x = 3 será:  

p(3) = (3) ² + 3 

=> p(3) = 9 + 3

=> p(3) = 12

Pregunta 2: ¿Evalúa el polinomio x ² + 2x + 6?

Solución: 

Sea q(x) = x2 ⁺ 2x + 6

Valor de q(x) en x = 0

q(0) = (0) ³ + 2(0) + 6

=> q(0) = 6

Factores del polinomio

Un factor de un polinomio dado (por ejemplo, P(x)) es cualquier polinomio que se divide uniformemente en P(x). La factorización del polinomio es la representación del polinomio en forma de producto.

Ejemplo

x ² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Aquí, (x – 2) y (x + 2) son los factores del polinomio x ² – 4 y también en x = 2 y x = -2 el valor del polinomio es 0. Por lo tanto, x = 2 y x = – 2 se denominan ceros del polinomio. El cero del polinomio es el valor de la variable en el polinomio donde el valor del polinomio se convierte en 0.

Ejemplos

1.  p(x) = 2x – 4

    En x = 2 el valor del polinomio será 0 y (x – 2) será el factor de p(x).

2. q(x) = (x – 5) ²

    En x = 5 el valor del polinomio será 0 y (x – 5) será un factor de p(x).

Encontrar factores y ceros de polinomio

Los ceros de los polinomios se pueden encontrar igualando el polinomio dado con cero (0) y resolviendo la ecuación para la variable dada.

Ejemplos

Pregunta 1. ¿Encontrar factores y ceros del polinomio f(x) = 5x – 15?

Solución:

Polinomio dado, f(x) = 5x – 15 

Ahora, igualando el polinomio anterior con 0

5x – 15 = 0

=> 5(x – 3) = 0

=> x – 3 =0

=> x = 3

Por lo tanto, x = 3 es el Cero del Polinomio (f(x) = 5x – 15) o la Raíz de la ecuación (5x – 15 = 0) y (x – 3) es el Factor del polinomio dado. Entonces, f(x) se puede representar como: 

f(x) = 5(x – 3)

Pregunta 2. ¿Encuentre factores y ceros del polinomio f(x) = 2x ² – x – 6?

Solución:

Dado Polinomio, f(x) = 2x ² – x – 6 

Ahora, igualando el polinomio anterior con 0

2x ² – x – 6 = 0

=> 2x ² – 4x + 3x – 6 = 0 

=> 2x(x-2) + 3(x-2) = 0 

=> (x – 2)(2x + 3) = 0 

Entonces, x – 2 = 0 o 2x + 3 = 0

Por lo tanto, x = 2 y x = -3/2 son los Ceros del Polinomio (f(x) = 2x ² – x – 6) o las Raíces de la ecuación (2x ² – x – 6 = 0) y (x – 2) & (2x + 3) son Factores del polinomio dado. Entonces, f(x) se puede representar como:

f(x) = (x – 2)(2x + 3)

Representación gráfica de polinomios

Los polinomios se pueden representar en el papel cuadriculado trazándolo punto por punto. Veamos algunos ejemplos trazando algunos gráficos en papel cuadriculado. 

Ejemplos

Pregunta 1. Trace la gráfica del polinomio f(x) = 2x.

Solución:

X	0	1	2	3	-1
f(x)	0	2	4	6	-2

Gráfica de polinomio: f(x) = 2x

El punto (en el eje X) donde la gráfica del polinomio corta el eje X se llama cero del polinomio.

Pregunta 2. Trace la gráfica del polinomio f(x) = x – 3.

Solución:

X	0	1	2	3	4	-1	-2
f(x)	-3	-2	-1	0	1	-4	-5

Gráfica de polinomio: f(x) = x – 3