¿Por qué el conjunto de los números naturales es indecidible?

Un sistema en matemáticas que define números y ordena números en diferentes bases es el sistema numérico. Un sistema numérico se puede definir como la forma adecuada de representar números en la recta numérica. El sistema numérico tiene diferentes bases y se conocen principalmente cuatro tipos de bases, que son, sistema numérico binario, sistema numérico decimal, sistema numérico octal y sistema numérico hexadecimal. El sistema numérico más utilizado en matemáticas es el sistema numérico decimal, los dígitos que pertenecen del 0 al 9. El sistema decimal tiene base 10. Hay diferentes tipos de números definidos en función de las propiedades de los números. Aprendamos sobre los números naturales,

Números naturales

Los números naturales se definen como los números que se generan a partir del 1 y ascienden hasta el infinito. Se puede decir que no hay números negativos o 0 involucrados en el conjunto de los números naturales. Los números naturales también se conocen como números positivos o números contables. Se llaman números contables ya que al contar en la vida real, solo se usan números positivos, por ejemplo, hay 5 manzanas en la canasta, aquí, 5 es un número natural. El conjunto de números naturales se muestra como,

norte = {1, 2, 3, … ∞}

¿Por qué el conjunto de los números naturales es indecidible?

Responder:

Antes de explicar este problema, es fundamental saber qué es lo indecidible. El término «decidible» significa que una teoría particular o un conjunto de reglas tiene un significado o consecuencias lógicas. Indecidible o insoluble se usa para la naturaleza del infinito y cómo las matemáticas pueden sostenerse definitivamente.

Los infinitos tienen varios tamaños y las teorías se basan en axiomas que son los principios que se consideran verdaderos y se prueban. Se considera que estos principios tienen conjuntos completos y solubles. Los números naturales tienen una forma estándar de conjuntos, es decir, {1, 2, 3, …N} dada por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel. Georg Cantor, quien es el fundador de la teoría de conjuntos, propuso la hipótesis del infinito. Afirmó que el conjunto de números infinitos pares podría variar entre sí.

Por lo tanto, un conjunto de números naturales que en realidad es un conjunto infinito se puede comparar con otro conjunto infinito. Por ejemplo, el conjunto del número real contenía todos los números naturales, reales y negativos, que es mucho más grande que el conjunto de los números naturales. ¿Hay otros infinitos entre estos dos infinitos? El científico no pudo probar esta conjetura de que no hay otros infinitos. Por tanto, se puede decir que el conjunto de los números naturales es indecidible o irresoluble.

Problemas conceptuales

Pregunta 1: ¿Son los conjuntos de números impares y los conjuntos de números pares los subconjuntos del conjunto de números naturales? Explique cómo.

Responder:

El conjunto de los números naturales es, N = {1, 2, 3, … ∞}

El conjunto de números pares se puede escribir como E = {2, 4, 6, …n}

Donde, n es el número par.

El conjunto de números impares se puede escribir como, O = {1, 3, 5, … n + 1}

Como n es par, n + 1 es el número impar.

Por lo tanto, se puede ver claramente que los conjuntos pares e impares son subconjuntos de números naturales.

Pregunta 2: ¿Cuál es la diferencia entre los números naturales y los números enteros?

Responder:

Los números naturales se generan desde el 1 y terminan en el infinito, mientras que los números enteros se generan desde el 0 y van hasta el infinito. Se puede decir que los números naturales y los números enteros son lo mismo si se quita el 0 de los números enteros.

Pregunta 3: ¿Por qué los números naturales se llaman números contables?

Responder:

Los números naturales se llaman números contables ya que estos números se pueden usar para contar objetos. Por ejemplo, hay 50 estudiantes en la clase. Aquí, 50 es el número natural y es de naturaleza contable.

Pregunta 4: ¿Cuáles de los siguientes números son números naturales?

12, 77, -9, 55/3, 20.

Responder:

Dado que -9 es de naturaleza negativa y 55/3 no es un número entero. Estos dos no son números naturales. Los números naturales son 12, 77, 20.

Pregunta 5: ¿Cuál de los siguientes no es un número natural?

0, 11, 13/3, 14/7, 23.

Responder:

11, 14/7 = 2 y 23 se ven claramente como los números naturales. Mientras que 0, 13/3 no son números naturales.

Pregunta 6: Sea X el conjunto de los números naturales e Y el conjunto de los números enteros. Explique lo que será X – Y?

Solución:

X = {1, 2, 3, 4, …}

Y = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Es obvio que dado que los números enteros son un 0 sumado a los números naturales, la resta del conjunto de números naturales del número entero dará 0.

Por lo tanto, X – Y = {0}

Pregunta 7: Sea X el conjunto de los números naturales e Y el conjunto de los números enteros. Explique cuál será X ∩ Y?

Solución:

X = {1, 2, 3, 4, …}

Y = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Es obvio que como los números enteros son un 0 sumado a los números naturales, la intersección del conjunto de los números naturales con el número entero dará el conjunto de los números naturales.

Por lo tanto, X ∩ Y = Y