¿Por qué la probabilidad de un evento siempre está entre 0 y 1?

La probabilidad se refiere al grado de ocurrencia de los eventos. Cuando ocurre un evento como lanzar una pelota, sacar una carta del mazo, etc., entonces debe haber alguna probabilidad asociada con ese evento.

Evento mutuamente excluyente:
dados dos eventos A y B, si ninguno de estos eventos tiene nada en común, es decir, A ∩ B = ∅, entonces, la probabilidad de la intersección de estos eventos también será igual a cero, es decir , P(A ∩ B) = 0 _ Dichos eventos se conocen como eventos mutuamente excluyentes .

Espacio Muestral:
Es un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. En este artículo, denotaremos un espacio muestral con ‘S’.

Ahora, hay tres axiomas importantes relacionados con la probabilidad, que realmente nos ayudarán a probar la declaración anterior. Entonces, echemos un vistazo a estos axiomas:

1. La probabilidad de un evento siempre será mayor o igual a cero, es decir, P(A) >= 0 para cualquier evento A.
2. La probabilidad de un espacio muestral siempre será igual a 1, es decir, P(S) = 1
3. Dados algunos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de todos estos eventos mutuamente excluyentes siempre será igual a la suma de la probabilidad de los eventos individuales, es decir, P(A ₁ ∪ A ₂ ∪ A ₃ ∪ A ₄ … ∪ A _N ) = P(A ₁ ) + P(A ₂ ) + P(A ₃ ) +P (A ₄ ) + …. + P( _AN )

Declaración del problema:
La tarea aquí es demostrar que la probabilidad de A siempre estará entre 0 y 1, es decir, 0 <= P(A) <= 1 .

Solución: considere el evento A. A continuación se muestran los pasos para la prueba del enunciado del problema anterior :

• Según el axioma 1, la probabilidad de un evento siempre será mayor o igual a 0.

P(A) >= 0 (According to Axiom 1)  --- (1)

• La probabilidad de un espacio muestral será igual a la probabilidad de la intersección de A y (S – A), es decir

S = A + (S - A)
P(S) = P(A + (S - A))

• Dado que A y (S – A) son dos eventos mutuamente excluyentes. Entonces, de acuerdo con el axioma 3, se puede escribir:

P(A + (S - A)) = P(A) + P(S - A)

• Esto implica,  

P(S) = P(A) + P(S - A)) --- (2)

• Ahora, del axioma 1, se puede decir que P(S – A) siempre será mayor o igual a cero, es decir , P(S – A) >= 0 .
• Si a un valor dado se le suma algo positivo, su valor siempre aumentará. Como P(S – A) >=0, se puede decir que P(A) no puede ser mayor que P(S). De lo contrario, la ecuación (2) no se cumplirá. 
• Esto significa-

P(S) >= P(A)

• Del axioma 2, la probabilidad de un espacio muestral siempre es igual a 1. Entonces, esto significa: 

1 >= P(A)
   or
P(A) >= 1 --- (3)

• A partir de la ecuación (1) y (3), se puede demostrar que-

0 <= P(A) <= 1

Esto prueba que la probabilidad de un evento siempre estará entre 0 y 1 .