Pre-requisito: Fundamentos de Proposiciones , Leyes
Proposición : el significado de proposición en la literatura es una idea, un plan o una oferta, o una sugerencia que se puede probar como verdadera o falsa. Lo mismo ocurre con las proposiciones matemáticas. Son oraciones declarativas que pueden ser verdaderas o falsas. Las proposiciones son los bloques de construcción fundamentales de la lógica.
Ejemplos:
1. Las líneas magnéticas emergen del norte y se fusionan en el polo sur.
2. 2 + 1 = 3
3. ‘p’ es una vocal.
Las tres oraciones anteriores son proposiciones propias, donde las dos primeras son verdaderas y la tercera es falsa.
Tautología
Se dice que la lógica proposicional es una tautología si siempre es verdadera independientemente del verdadero/falso de las fórmulas atómicas. Una tautología es siempre “Verdadera”. Para verificar si una lógica dada es una tautología o no, a menudo usamos el método de la tabla de verdad. Aunque el método de la tabla de verdad no es efectivo cuando la lógica contiene varias fórmulas atómicas.
Ejemplo:
Número impar = A
número par = B
1. Si sumamos un número impar y un número par, obtenemos un número impar.
Convirtiendo la declaración-1 en lógica matemática:
A ∧ B ⇒ A
Probemos que la lógica anterior es una tautología. Para construir la tabla de verdad, necesitamos convertir las declaraciones lógicas en una forma de cláusula.
La tabla de verdad de A ∧ B ⇒ A, forma clausal es: ￢(A ∧ B)∨A
| A | B | (A∧B) | ￢(A ∧ B) | ￢(A ∧ B)∨A |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T |
Todas las entradas son verdaderas, independientemente de los valores verdadero/falso de los literales atómicos. Entonces, esto es una tautología.
Ejemplos de Tautología con símbolos lógicos:
- ￢A∨A
- (P∨Q)⇒(P∨Q)
Una oración matemática consistía en lógica. Una proposición es verdadera o falsa. La proposición se compone de lógica matemática. Varias lógicas proposicionales se dan a continuación en su orden de prioridad:
- Negación (No)
- Conjunción (y)
- Disyunción (o)
- Implicación (⇒)
- Equivalencia (⇔)
Tautología : una proposición que siempre es verdadera. La tabla de verdad se evalúa para la proposición dada y si en todos los casos el resultado es Verdadero, entonces esa proposición se llama Tautología .
Mesa de la verdad
Es una tabla que da la salida de la lógica proposicional contra cada componente de entrada. El resultado es binario, ya sea Verdadero o Falso para cada fila de entradas.
Problemas: Encontrar si la lógica proposicional dada es una tautología o no.
1) pag
Mesa de la verdad:
| PAGS |
|---|
| T |
| F |
La tabla de verdad de P contiene un valor Falso. Por lo tanto, no puede ser una tautología.
2) P⇒P
Dibujaremos la tabla de verdad para esta proposición.
Implicación:
P⇒Q =￢P∨Q
La expresión simplificada de la proposición dada es: ￢P∨P
Mesa de la verdad:
| PAGS | ￢P | ￢P∨P |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
La tabla de verdad de ￢P∨P consta solo de valores verdaderos. Por lo tanto, P⇒P es una tautología.
3) (P ⇒ P) ⇒ P
Dibujaremos la tabla de verdad para esta proposición.
Implicación:
P⇒Q=￢P∨Q
La expresión simplificada de la proposición dada es:
(￢P∨P) ⇒ P
￢(￢P∨P)∨P
(￢(￢P) ∧ ￢P)∨P {Por la Ley de Demorgan}
(P ∧ ￢P) ∨P
(P ∧ ￢P)= Falso {Leyes del complemento: – P∧￢P=F }
Falso ∨ P = P {Ley de absorción}
Así, (P ⇒ P) ⇒ P es equivalente a P. Ya lo hemos resuelto en el problema-1.
Por lo tanto, esto no es una Tautología .
4) (pag → q) → [(pag → q) → q]
Resolviendo: (p → q) = ￢p∨q {Implicación}
Resolviendo: [(p → q) → q]
= [(￢p∨q) → q]
= [￢(￢p∨q)∨q]
= [(￢(￢p)∧￢q)∨q] {Ley de Demorgan}
= [(p∧￢q)∨q] {Ley de involución}
= [(p∨q)∧(￢q∨q)] {Ley distributiva}
= [(p∨q)∧T] {Ley del complemento}
= (p∨q) {Ley de absorción}
Resolviendo (p → q) → [(p → q) → q]
￢(￢p∨q)∨(p∨q)
[￢(￢p)∧(￢q)]∨(p∨q){Ley de Demorgan}
(p∧￢q)∨(p∨q) {Ley de involución}
Por lo tanto, la expresión final es: (p∧￢q)∨(p∨q)
Mesa de la verdad:
| pags | q | ￢q | (p∧￢q) | (p∨q) | (p∧￢q)∨(p∨q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | F | F | F |
Dado que hay una entrada falsa en la tabla de verdad, implica que no es una tautología .
5) ((P⇒Q)∧P)⇒Q
Resolviendo (P⇒Q): ￢P∨Q
Resolviendo ((P⇒Q)∧P): ((￢P∨Q)∧P)
= (￢P∧P)∨(Q∧P) {Ley Distributiva}
= (F)∨(Q∧P) {Ley del complemento}
= (Q∧P) {Ley de Absorción}
Resolviendo ((P⇒Q)∧P)⇒Q: (Q∧P)⇒Q
= ￢(Q∧P)∨Q
= (￢Q∨￢P)∨Q {Ley de Demorgan}
= (￢Q∨Q)∨￢P) {Ley Asociativa}
= T∨(￢P) {Ley del complemento}
= T {Ley de Absorción}
CNF final es: Verdadero
Aquí, no hay necesidad de encontrar la tabla de verdad. La lógica dada es una tautología.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por pintusaini y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA