Los polinomios están formados por expresiones algebraicas con diferentes grados. Los polinomios de grado uno se denominan polinomios lineales, los de grado dos se denominan cuadráticos y los de grado tres se denominan polinomios cúbicos. Los ceros de estos polinomios son los puntos donde estos polinomios se vuelven cero. A veces sucede que tenemos algunos ceros de los polinomios, necesitamos encontrar los otros ceros. Por ejemplo, supongamos un polinomio p(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3, y sabemos que uno de los ceros es 1. Entonces x – 1 debe ser un factor de este polinomio. El objetivo es encontrar los otros dos ceros. En tales casos, el algoritmo de división nos ayuda.
Algoritmo de división para polinomios
Tengamos dos polinomios p(x) y g(x), y g(x) ≠ 0. Ahora podemos encontrar dos polinomios q(x) y r(x) tales que,
p(x) = q(x) xg(x) + r(x),
Aquí, r(x) = 0 o grado de r(x) < grado de g(x). Esto se llama algoritmo de división de polinomios para polinomios.
Dividendo = Cociente x Divisor + Resto
Ahora veamos con un ejemplo, como dividir dos polinomios,
Digamos que tenemos p(x) = 2x 2 + 4x + 1 y g(x) = x + 1.
Pasos para la división larga:
Paso 1: detendremos este proceso cuando el resto se convierta en cero o su grado sea menor que el divisor.
Paso 2: El primer término de los cocientes se obtiene dividiendo el término de mayor orden del dividendo por el término de mayor grado del divisor.
Paso 3: Para el segundo término, dividir el término de mayor grado del nuevo dividendo obtenido como resto por el término de mayor grado del divisor.
Paso 4: Continúe con los pasos hasta que se cumpla la condición mencionada en el paso 1.
Observe que en este ejemplo, q(x) = 2x + 2 y r(x) = -1.
Veamos algunos problemas de este algoritmo.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Dado el polinomio p(x) = x 2 + x +5 y g(x) = x +2. Encuentre el valor de q(x) y r(x).
Solución:
Usando los pasos mencionados anteriormente. Al dividir p(x) por g(x) obtenemos,
q(x) = x – 1 y r(x) = 7.
Pregunta 2: Dado el polinomio p(x) = x 3 + x + 6x 2 + 4 y g(x) = x 2 + 1. Encuentra el valor de q(x) y r(x).
Solución:
Usando los pasos mencionados anteriormente. Al dividir p(x) por g(x) obtenemos,
Entonces, aquí q(x) = x + 6, y r(x) = -2.
Pregunta 3: Dado el polinomio p(x) = x 4 + x + 6x 2 + 4 y g(x) = x 2 + 1. Encuentra el valor de q(x) y r(x).
Solución:
Usando los pasos mencionados anteriormente. Al dividir p(x) por g(x) obtenemos,
Entonces, aquí q(x) = x 2 + 5, y r(x) = x -1.
Pregunta 4: Dado el polinomio x 4 – 1. Sabemos que dos de las raíces son -1, 1. Encuentra las otras dos raíces si existen.
Solución:
Sabemos que las dos raíces son -1 y 1.
Entonces, x -1 y x + 1 son los factores del polinomio dado. Entonces, (x – 1)(x +1) también es un factor del polinomio.
(x – 1) (x + 1) = x 2 – 1
Vemos que el cociente es x 2 + 1. Las raíces de este polinomio serán las raíces de la ecuación.
x2 + 1 = 0
⇒x2 = -1
Esta ecuación no puede tener raíces reales, por lo que no existen raíces para este polinomio.
Pregunta 5: Dado el polinomio p(x) = x 5 + 8x 3 – 6x 4 + 5x 2 + 10x + 8 y g(x) = x 2 + 10x -5. Encuentre q(x) y r(x).
Solución:
Siguiendo los mismos pasos que en las preguntas anteriores,
q(x) = x 3 – 16x 2 + 173x – 1805
r(x) = 18295x – 9017
Pregunta 6: Por lo mismo dado el polinomio p(x) = x 5 + 8x 3 – 6x 4 + 5x 2 + 10x + 8 y g(x) = x + 5. Encuentra q(x) y r(x).
Solución:
Aquí, q(x) = x 4 – 11x 3 + 63x 2 – 310x + 1560
r(x) = -7792
Pregunta 7: Por lo mismo dado el polinomio p(x) = x 5 – 6x 4 + 5x 2 + 8 y g(x) = x + 2. Halla q(x) y r(x).
Solución:
q(x) = x 4 – 8x 3 + 16x 2 -27x + 54
g(x) = -100
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA