Requisito previo: coeficiente de correlación
dadas dos arrays X[] e Y[]. Encuentre la correlación de rangos de Spearman . En la correlación de rangos de Spearman, en lugar de trabajar con los valores de los datos en sí mismos (como se explica en Coeficiente de correlación), funciona con los rangos de estos valores . Las observaciones se clasifican primero y luego estos rangos se utilizan en correlación. El algoritmo para esta correlación es el siguiente
Rank each observation in X and store it in Rank_X Rank each observation in Y and store it in Rank_Y Obtain Pearson Correlation Coefficient for Rank_X and Rank_Y
La fórmula utilizada para calcular el Coeficiente de Correlación de Pearson (r o rho) de los conjuntos X e Y es la siguiente: ![{{\displaystyle r=\frac {n(\sum xy)-\left ( \sum x \right )\left ( \sum y \right )}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x)^2 ][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c114a8dad479efbfb974aab1611aac26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Algoritmo para calcular el Coeficiente de Pearson de los Conjuntos X e Y
function correlationCoefficient(X, Y)
n = X.size
sigma_x = sigma_y = sigma_xy = 0
sigma_xsq = sigma_ysq = 0
for i in 0...N-1
sigma_x = sigma_x + X[i]
sigma_y = sigma_y + Y[i]
sigma_xy = sigma_xy + X[i] * Y[i]
sigma_xsq = sigma_xsq + X[i] * X[i]
sigma_ysq = sigma_ysq + Y[i] * Y[i]
num =( n * sigma_xy - sigma_x * sigma_y)
den = sqrt( [n*sigma_xsq - (sigma_x)^ 2]*[ n*sigma_ysq - (sigma_y) ^ 2] )
return num/den
Al asignar rangos, puede encontrar empates, es decir, dos o más observaciones que tienen el mismo rango. Para resolver los empates, se utilizará el esquema de ranking fraccionario. En este esquema, si n observaciones tienen el mismo rango, cada observación obtiene un rango fraccionario dado por:
fractional_rank = (rank) + (n-1)/2
El siguiente rango que se asigna es rango + n y no rango + 1. Por ejemplo, si los 3 elementos tienen el mismo rango r, entonces cada uno obtiene rango_fraccional como se indicó anteriormente. El siguiente rango que se le puede dar a otra observación es r + 3. Tenga en cuenta que los rangos fraccionarios no necesitan ser fracciones. Son la media aritmética de n rangos consecutivos ex r, r + 1, r + 2… r + n-1.
(r + r+1 + r+2 + ... + r+n-1) / n = r + (n-1)/2
Algunos ejemplos :
Input : X = [15 18 19 20 21]
Y = [25 26 28 27 29]
Solution : Rank_X = [1 2 3 4 5]
Rank_Y = [1 2 4 3 5 ]
sigma_x = 1+2+3+4+5 = 15
sigma_y = 1+2+4+3+5 = 15
sigma_xy = 1*2+2*2+3*4+4*3+5*5 = 54
sigma_xsq = 1*1+2*2+3*3+4*4+5*5 = 55
sigma_ysq = 1*1+2*2+3*3+4*4+5*5 = 55
Substitute values in formula
Coefficient = Pearson(Rank_X, Rank_Y) = 0.9
Input: X = [15 18 21 15 21 ]
Y = [25 25 27 27 27 ]
Solution: Rank_X = [1.5 3 4.5 1.5 4.5]
Rank_Y = [1.5 1.5 4 4 4]
Calculate and substitute values of sigma_x, sigma_y,
sigma_xy, sigma_xsq, sigma_ysq.
Coefficient = Pearson(Rank_X, Rank_Y) = 0.456435
El algoritmo para el esquema de clasificación fraccional se da a continuación:
function rankify(X)
N = X.size()
// Vector to store ranks
Rank_X(N)
for i = 0 ... N-1
r = 1 and s = 1
// Count no of smaller elements in 0...i-1
for j = 0...i-1
if X[j] < X[i]
r = r+1
if X[j] == X[i]
s = s+1
// Count no of smaller elements in i+1...N-1
for j = i+1...N-1
if X[j] < X[i]
r = r+1
if X[j] == X[i]
s = s+1
//Assign Fractional Rank
Rank_X[i] = r + (s-1) * 0.5
return Rank_X
Nota:
Hay una fórmula directa para calcular el coeficiente de Spearman dada por 
Sin embargo, necesitamos poner un término de corrección para resolver cada empate y, por lo tanto, esta fórmula no se ha discutido. Calcular el coeficiente de Spearman a partir del coeficiente de correlación de rangos es el método más general.
A continuación se muestra un programa CPP para evaluar el coeficiente de Spearman:
C++
// Program to find correlation
// coefficient
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef vector<float> Vector;
// Utility Function to print
// a Vector
void printVector(const Vector &X)
{
for (auto i: X)
cout << i << " ";
cout << endl;
}
// Function returns the rank vector
// of the set of observations
Vector rankify(Vector & X) {
int N = X.size();
// Rank Vector
Vector Rank_X(N);
for(int i = 0; i < N; i++)
{
int r = 1, s = 1;
// Count no of smaller elements
// in 0 to i-1
for(int j = 0; j < i; j++) {
if (X[j] < X[i] ) r++;
if (X[j] == X[i] ) s++;
}
// Count no of smaller elements
// in i+1 to N-1
for (int j = i+1; j < N; j++) {
if (X[j] < X[i] ) r++;
if (X[j] == X[i] ) s++;
}
// Use Fractional Rank formula
// fractional_rank = r + (n-1)/2
Rank_X[i] = r + (s-1) * 0.5;
}
// Return Rank Vector
return Rank_X;
}
// function that returns
// Pearson correlation coefficient.
float correlationCoefficient
(Vector &X, Vector &Y)
{
int n = X.size();
float sum_X = 0, sum_Y = 0,
sum_XY = 0;
float squareSum_X = 0,
squareSum_Y = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
// sum of elements of array X.
sum_X = sum_X + X[i];
// sum of elements of array Y.
sum_Y = sum_Y + Y[i];
// sum of X[i] * Y[i].
sum_XY = sum_XY + X[i] * Y[i];
// sum of square of array elements.
squareSum_X = squareSum_X +
X[i] * X[i];
squareSum_Y = squareSum_Y +
Y[i] * Y[i];
}
// use formula for calculating
// correlation coefficient.
float corr = (float)(n * sum_XY -
sum_X * sum_Y) /
sqrt((n * squareSum_X -
sum_X * sum_X) *
(n * squareSum_Y -
sum_Y * sum_Y));
return corr;
}
// Driver function
int main()
{
Vector X = {15,18,21, 15, 21};
Vector Y= {25,25,27,27,27};
// Get ranks of vector X
Vector rank_x = rankify(X);
// Get ranks of vector y
Vector rank_y = rankify(Y);
cout << "Vector X" << endl;
printVector(X);
// Print rank vector of X
cout << "Rankings of X" << endl;
printVector(rank_x);
// Print Vector Y
cout << "Vector Y" << endl;
printVector(Y);
// Print rank vector of Y
cout << "Rankings of Y" << endl;
printVector(rank_y);
// Print Spearmans coefficient
cout << "Spearman's Rank correlation: "
<< endl;
cout<<correlationCoefficient(rank_x,
rank_y);
return 0;
}
Producción:
Vector X 15 18 21 15 21 Rankings of X 1.5 3 4.5 1.5 4.5 Vector Y 25 25 27 27 27 Rankings of Y 1.5 1.5 4 4 4 Spearman's Rank correlation: 0.456435
Código de Python para calcular la correlación de rango de Spearman:
Python3
# Import pandas and scipy.stats
import pandas as pd
import scipy.stats
# Two lists x and y
x = [15,18,21, 15, 21]
y = [25,25,27,27,27]
# Create a function that takes in x's and y's
def spearmans_rank_correlation(x, y):
# Calculate the rank of x's
xranks = pd.Series(x).rank()
print("Rankings of X:")
print(xranks)
# Calculate the ranking of the y's
yranks = pd.Series(y).rank()
print("Rankings of Y:")
print(yranks)
# Calculate Pearson's correlation coefficient on the ranked versions of the data
print("Spearman's Rank correlation:",scipy.stats.pearsonr(xranks, yranks)[0])
# Call the function
spearmans_rank_correlation(x, y)
# This code is contributed by Manish KC
# profile: mkumarchaudhary06
Producción:
Rankings of X: 0 1.5 1 3.0 2 4.5 3 1.5 4 4.5 dtype: float64 Rankings of Y: 0 1.5 1 1.5 2 4.0 3 4.0 4 4.0 dtype: float64 Spearman's Rank correlation: 0.456435464588
Código de Python para calcular la correlación de Spearman usando Scipy
Hay una manera simple de obtener directamente el valor de correlación de Spearman usando scipy.
Python3
# Import scipy.stats import scipy.stats # Two lists x and y x = [15,18,21, 15, 21] y = [25,25,27,27,27] print(scipy.stats.spearmanr(x, y)[0]) # This code is contributed by Manish KC # Profile: mkumarchaudhary06
Producción:
0.45643546458763845
Referencias:
https://en.wikipedia.org/wiki/Spearman%27s_rank_correlation_coficient
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Sayan Mahapatra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA