Progresión aritmética – Diferencia común y enésimo término | Clase 10 Matemáticas

La progresión aritmética es una secuencia de números donde la diferencia entre dos números sucesivos es constante. Por ejemplo 
1, 3, 5, 7, 9……. está en una serie que tiene una diferencia común (3 – 1) entre dos términos sucesivos igual a 2. Si tomamos como ejemplo los números naturales de la serie 1, 2, 3, 4… entonces la diferencia común (2 – 1) entre los dos términos sucesivos es igual a 1.

En otras palabras, la progresión aritmética se puede definir como “ una sucesión matemática en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre una constante ”.

Nos encontramos con las diferentes palabras como secuencia, serie y progresión en AP, ahora veamos qué define cada palabra:

• La secuencia es una lista finita o infinita de números que sigue un patrón determinado. Por ejemplo 0, 1, 2, 3, 4, 5… es la secuencia, que es una secuencia infinita de números enteros.

 

• Serie es la suma de los elementos a los que corresponde la sucesión Por ejemplo 1 + 2 + 3 + 4 + 5….es la serie de los números naturales. Cada número en una sucesión o serie se llama término. Aquí 1 es un término, 2 es un término, 3 es un término …….

 

• La progresión es una secuencia en la que el término general se puede expresar usando una fórmula matemática o la Secuencia que usa una fórmula matemática que se puede definir como la progresión.

¿Cuál es la diferencia común de un AP?

La diferencia común en la progresión aritmética se denota por d . La diferencia entre el término sucesivo y su término precedente. Siempre es constante o igual para la progresión aritmética. En otras palabras, podemos decir que, en una sucesión dada, si la diferencia común es constante o igual, entonces podemos decir que la sucesión dada está en progresión aritmética.

• La fórmula para encontrar la diferencia común es d = (a _{n + 1} – a _n ) o d = (a _n – a _n-1 ) .
• Si la diferencia común es positiva, AP aumenta. Para el Ejemplo 4, 8, 12, 16….. en estas series AP aumenta
• Si la diferencia común es negativa, AP disminuye. Por Ejemplo -4, -6, -8……., aquí AP disminuye.
• Si la diferencia común es cero, AP será constante. Para el Ejemplo 1, 2, 3, 4, 5………, aquí AP es constante.

La secuencia de Progresión Aritmética será como un ₁ , un _2, un ₃ , un ₄ ,…

Ejemplo 1: 0, 5, 10, 15, 20…..

here, 
a1 = 0, a2 = 5, so a2 - a1 = d = 5 - 0 = 5. 
a3 = 10, a2 = 5, so a3 - a2 = 10 - 5 = 5.
a4 = 15, a3 = 10, so a4 - a3 = 15 - 10 =5.
a5 =20, a4 =15, so a5 -a4 = 20 - 15 = 5.

Del ejemplo anterior, podemos decir que la diferencia común es «5».

Ejemplo 2: 0, 7, 14, 21, 28…….

here, 
a1 = 0, a2 = 7, so a2 - a1 = 7 - 0 = 7
a3 = 14, a2 = 7, so a3 - a2 = 14 - 7 = 7
a4 = 21, a3 = 14, so a4 - a3 = 21 - 14 = 7
a5 =28, a4 = 21, so a5 -a4 =28 - 21 = 7

Del ejemplo anterior, podemos decir que la diferencia común es «7».

¿Cómo encontrar el término medio de un AP?

Para encontrar el término medio de una progresión aritmética necesitamos el número total de términos en una secuencia. Tenemos dos casos:

Par: si el número de términos en la secuencia es par, tendremos dos términos intermedios, es decir, (n/2) y (n/2 + 1).n

Impar: si el número de términos en la secuencia es impar, entonces solo tendremos un término medio, es decir, (n/2).

Ejemplo 1:

If n = 9 then,
Middle term = n/2 = 9/2 = 4.

Ejemplo 2:

If n = 16 then,
First middle term = n/2 = 16/2 = 8.
Second middle term = (n/2) + 1 = (16/2) + 1 = 8 + 1 = 9.

¿Cuál es el término N de un AP?

Para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética, sabemos que la serie AP tiene la forma de a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d……….

El n ^-ésimo  término se denota por   Tn _. Así para encontrar el término n-ésimo de una serie AP será: 

Ejemplo: Encuentra el término 9 ^de la secuencia AP dada: 3, 6, 9, 12, 15………..?

Paso 1: Escribe la serie dada.

Given series = 3, 6, 9, 12, 15...........

Paso 2 : Ahora escribe el valor de a y n de la serie dada.

a = 3, n = 9

Paso 3: Encuentra la diferencia común d usando la fórmula   (a _n+1  – a _n ) .

d = a2 - a1 , 
here  a2 = 6 and a1 = 3  
so d = (6 - 3) = 3.

Paso 4 : Necesitamos sustituir los valores de a, d, n en la fórmula (T _n = a + (n – 1)d).

Tn =  a + (n - 1)d 
given n = 9.

T9 = 3 + (9 - 1)3

= 3 + (8)3

= 3 + 24 = 27

Por tanto, el 9º ^término  de la serie AP dada 3, 6, 9, 12, 15………. es «27».