Progresión aritmética y progresión geométrica

La palabra “secuencia” en inglés significa una colección de algunos números u objetos de tal manera que tiene un primer miembro, un segundo miembro y así sucesivamente. Las secuencias pueden ser de cualquier cosa, por ejemplo. – Enero febrero, …. es la secuencia de meses en un año. Las secuencias entran en uso en la vida real de las personas todos los días. Los días de una semana también se pueden considerar como una secuencia. Por lo tanto, se vuelve esencial estudiar las sucesiones y encontrar patrones en ellas para que podamos predecir los siguientes términos de la sucesión y extraer información de ellos.

Secuencias

Consideremos una secuencia: 2,4,6,8 y así sucesivamente. Los diversos números que aparecen en él se llaman sus términos. Se denotan por un ₁ , un ₂ , un ₃ … un _n.Los subíndices denotan el término n. El n-ésimo término de la sucesión también se llama término general de la sucesión porque podemos derivar cualquier otro término a partir de él poniendo diferentes valores de n. Aquí en este caso,

a ₁ = 2, a ₂ = 4, a ₃ = 6 y así sucesivamente…

Una secuencia con un número finito de términos se denomina secuencia finita y, de manera similar, una secuencia con un número infinito de términos se denomina secuencia infinita.

Una sucesión puede considerarse como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales o algún subconjunto del mismo. A veces, usamos la notación funcional a(n) para una _n .

Serie

Para una sucesión dada a ₁ , a ₂ , a ₃ … a _n . La expresión dada a continuación se llama serie. Una serie puede ser infinita o finita dependiendo del número de términos que tenga su secuencia. ∑ es la notación común utilizada para denotar la serie. Esto indica la suma involucrada.

$\Sigma^{n}_{i = 1}a_{i}$ = un ₁ + un ₂ + un ₃ +… un _norte

Estos conceptos dan lugar a las sucesiones conocidas como progresión aritmética y progresión geométrica.

Progresión Aritmética (AP)

Considere una secuencia 1, 3, 5, 7, ….. Observe que en esta secuencia, la diferencia entre términos sucesivos es constante. Esto significa que en cada paso se suma un valor constante a cada término de esta sucesión. Una secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ … an puede llamarse progresión aritmética si a _n₊₁ = a _n + d donde n es cualquier número natural. En tal serie, un ₁ se llama el primer término, y el término constante d se llama la diferencia común de AP Entonces, un AP se ve como,

a, a + d, a + 2d, a + 3d….. y así sucesivamente.

El n-ésimo para AP se puede definir como,

un _n = un ₁ + (n-1)d

La suma de n términos de un AP está dada por,

S _norte = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

S _norte = $\frac{n}{2}[a + l]$

Progresión Geométrica (GP)

Considere la siguiente secuencia, 2, 4, 8, 16….. Está claro aquí, que cada término se multiplica por 2 en esta secuencia. Las sucesiones en las que los términos sucesivos se multiplican por un número constante se denominan progresiones geométricas. De manera más general, una sucesión a ₁ , a ₂ , a ₃ … _an puede llamarse progresión geométrica si a _n+1 = a _n . r donde n es cualquier número natural. En tal serie, un ₁ se llama el primer término, y el término constante r se llama la razón común de GP Entonces, un GP parece,

a, ar, ar ² , ar ⁿ ….. y así sucesivamente.

El n-ésimo para GP se puede definir como,

un _norte = un ₁ r ^n-1

En general, GP puede ser finito e infinito, pero en el caso de GP infinito, la razón común debe estar entre 0 y 1, o de lo contrario los valores de GP se elevan hasta el infinito. La suma de GP consta de dos casos:

Denotemos que los S _n son a + ar + ar ² + ….. ar ⁿ

Caso 1: Si r = 1, la serie colapsa a

un, un, un, un… y así sucesivamente.

S _norte = na

Caso 2: Si r≠1, la serie permanece igual,

a + ar + ar ² + ….. ar ⁿ

S _norte = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

Veamos algunos problemas verbales relacionados con estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Una acción de bitcoin comenzó en $5. Después de eso, cada día sube $2. Encuentre el precio de las acciones al final del día 16.

Responder:

En la pregunta anterior, cada vez que se agrega un número constante al término anterior para formar un nuevo término. Este es un AP.

5, 7, 9, … y así sucesivamente.

Usando la fórmula para el término n de AP.

un _n = un ₁ + (n-1)d

Aquí un ₁ denota el primer término y d denota la diferencia común. En este caso ,

a ₁ = 5, d = 2 y n = 16

un ₁₀ = un ₁ + (16-1)d

⇒ un ₁₀ = 5 + (15)2

⇒ un ₁₀ = 5 + 30

⇒ un ₁₀ = 35

Por lo tanto, los precios de las acciones están en $35.

Pregunta 2: Una persona plantó 3 árboles en el nacimiento de su hijo. Después de eso, en los cumpleaños siguientes plantó 5 árboles más cada año. Encuentra el número de árboles en su patio trasero cuando su hijo tiene 10 años.

Responder:

En la pregunta anterior, cada vez que se agrega un número constante al término anterior para formar un nuevo término. Este es un AP.

3, 8, 13,… y así sucesivamente.

Usando la fórmula para el término n de AP.

un _n = un ₁ + (n-1)d

Aquí un ₁ denota el primer término y d denota la diferencia común. En este caso,

a ₁ = 3, d = 5 y n = 10

un ₁₀ = un ₁ + (10-1)d

⇒ un ₁₀ = un ₁ + (9)d

⇒ un ₁₀ = 3 + 9(5)

⇒ un ₁₀ = 3 + 45

⇒ un ₁₀ = 48

Por lo tanto, ahora hay 48 árboles en su patio trasero.

Pregunta 3: La banda de rock inglesa the1975 lanzó un nuevo álbum en verano y abrieron con 100,000 copias vendidas en un día. Ahora el disco está en lo más alto de las listas y cada día venden 20.000 copias más que el día anterior. Encuentre las ventas totales de álbumes en una semana.

Responder:

En la pregunta anterior, cada vez que se agrega un número constante al término anterior para formar un nuevo término. Este es un AP.

100.000; 120.000; 140.000; … y así.

El objetivo es calcular la suma de la secuencia al final del décimo día.

Usando la fórmula para la suma hasta el n-ésimo término de AP.

S _norte = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

Aquí a denota el primer término y d denota la diferencia común. En este caso,

a = 100 000, d = 20 000 y n = 7

S _norte = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

⇒ S ₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (7-1)(20000)]$

⇒ S ₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (6)(20000)]$

⇒ S ₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (120000)]$

⇒ S ₇ = $\frac{7}{2}[220000]$

⇒ S ₇ = $7(110000)$

⇒S ₇ = 770000

Así, la venta total de álbumes es de 770.000.

Pregunta 4: La población de ciervos está aumentando en el Parque Nacional de Corbett. En el año 2015 fueron 1000, desde entonces ha ido en aumento, y se convierte en 2 veces cada año. Encuentre la población en 2021.

Solución.

Aquí, cada año la población se convierte en 2 veces. Un número constante se multiplica por el término anterior para obtener el nuevo término. Esta es una progresión geométrica.

1000, 2000… y así sucesivamente.

Aquí a = 1000 y r = 2

Usando la fórmula para el enésimo término del PG

un _norte = un ₁ r ^n-1

En 2021, n = 7. Introduciendo los valores en la fórmula

un _norte = un ₁ r ^n-1

⇒un _n = (1000)(2) ^(7-1)

⇒un _n = (1000)(2) ⁶

⇒un _n = (1000)(64)

⇒a _n = 64000

Debe haber 64.000 ciervos en el Parque Nacional de Corbett ahora.

Pregunta 5: Una persona tiene 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, etc. Encuentre el número de antepasados en las últimas 10 generaciones de esta familia.

Solución.

Aquí, cada año el número se convierte en 2 veces. Un número constante se multiplica por el término anterior para obtener el nuevo término. Esta es una progresión geométrica.

2,4… y así sucesivamente.

Aquí a = 2 y r = 2

Usando la fórmula para el enésimo término del PG

un _norte = un ₁ r ^n-1

En 2021, n = 10. Introduciendo los valores en la fórmula

un _norte = un ₁ r ^n-1

⇒un norte ₌ (2)(2) ^(10-1)

⇒un norte ₌ (2)(2) ⁹

⇒un _n = (2) ¹⁰

⇒a _n = 64000

Debe haber 64.000 ciervos en el Parque Nacional de Corbett ahora.

Pregunta 6: Inserte dos números entre 4 y 256 de manera que la secuencia resultante se convierta en un GP.

Responder:

Digamos que esos dos números son x e y. La secuencia resultante entonces se convierte en,

4, x, y, 256

Esta secuencia tiene cuatro términos y es un GP. Aquí,

a = 4 y r = ?

La fórmula para el enésimo término de GP es

un _norte = un ₁ r ^n-1

cuarto término es 256,

256 = 4r ^{(4 – 1)}

64 = r ³

Esto significa que, r = 4

De este modo,

x = ar

⇒ x = (4)(4)

⇒x= 16

y = ar ²

⇒ y = 4(4) ²

⇒ y = 64

Entonces, los dos números a insertar son 16 y 64

Pregunta 7: El número de bacterias en un plato es 100 y aumentan al doble del valor anterior cada hora. Encuentra el número de bacterias en el plato después de 6 horas.

Responder:

Aquí, cada año el número se convierte en 2 veces. Un número constante se multiplica por el término anterior para obtener el nuevo término. Esta es una progresión geométrica.

100,200, 400… y así sucesivamente.

Aquí a = 100 y r = 2

Usando la fórmula para la suma hasta el n-ésimo término del GP

S _norte = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

n = 6. Introduciendo los valores en la fórmula

S _norte = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

⇒S _n = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

⇒ S ₆ = $\frac{100(1 - 2^6)}{1 - 2}$

⇒ S ₆ = $\frac{100(2^6 - 1)}{2 - 1}$

⇒ S ₆ = $\frac{100(64 - 1)}{2 - 1}$

⇒ S6 ₌ 6300

Debe haber 63,00 bacterias en el plato ahora.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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