Los cuadriláteros se encuentran en todas partes en la vida, cada rectángulo cuadrado, cualquier forma con cuatro lados es un cuadrilátero. Sabemos que tres puntos no colineales forman un triángulo. De manera similar, cuatro puntos no colineales toman una forma que se llama cuadrilátero. Tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.
Las dos figuras anteriores son ejemplos de cuadriláteros. ABCD es un cuadrilátero. AB, BC, CD y DA son cuatro lados del cuadrilátero. A, B, C y D son cuatro vértices, y ∠A, ∠B, ∠C y ∠Dare son los ángulos de este cuadrilátero.
Alguna terminología importante
Veamos algunos términos y convenciones relacionados con los cuadriláteros.
Lados opuestos: dos lados del cuadrilátero se llaman lados opuestos si no tienen un vértice común.
Por ejemplo: en la figura anterior, observe el cuádruple ABCD. Aquí, AB y CD son lados opuestos. De manera similar, AD y BC son lados opuestos.
Ángulos opuestos: Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos si no tienen ningún brazo en común.
Por ejemplo: En la figura ABCD nuevamente, el ángulo A y el ángulo C no tienen ningún brazo común. Por lo tanto, pueden considerarse como ángulos opuestos. De manera similar, los ángulos B y D también son ángulos opuestos.
Lados adyacentes: dos lados se llaman adyacentes si los lados tienen un vértice común.
Por ejemplo: AB y AD tienen un vértice común “A”. Por lo tanto, se llaman lados adyacentes. Del mismo modo, AB, BC; BC, CD y AD, DC son lados adyacentes.
Ángulos Contiguos: Dos ángulos, si tienen un brazo común se llaman ángulos contiguos.
Por ejemplo: ∠A, ∠B son ángulos adyacentes.
Pregunta: Enumere el par de lados opuestos y ángulos adyacentes del cuadrilátero que se muestra a continuación.
Responder:
Par de lados opuestos son los lados que no tienen vértices comunes.
Entonces, en este caso (AB, CD) y (AC, BD) son dos pares de lados opuestos.
Del mismo modo, siguiendo la definición dada anteriormente. Par de lados adyacentes son,
(AC, AB); (AB, BD); (BD, CC); (CD, CA)
Tipos de cuadriláteros
Los cuadriláteros se pueden clasificar en cinco tipos:
- Paralelogramo: Es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y congruentes entre sí. Los ángulos opuestos también son iguales.
- Rectángulo: Es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales y todos los ángulos son rectos (90°).
- Cuadrado: Es un cuadrilátero que tiene todos sus lados de igual longitud y todos los ángulos son rectos (90°).
- Rombo: Es un paralelogramo que tiene todos sus lados de igual longitud.
- Trapecio: Tiene un par de lados paralelos. Sus lados pueden o no ser de igual longitud.
Propiedad de la suma de ángulos
Esta propiedad establece que la suma de todos los ángulos de un cuadrilátero es 360°. Probemos esto.
Teorema: La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es 360°.
Prueba:
Sea ABCD un cuadrilátero.
Únete a AC.
Ahora fíjate,
∠1 + ∠2= ∠A
∠3 + ∠4= ∠C
Por lo tanto, del triángulo ABC
∠4 + ∠2+ ∠B = 180 o
Del mismo modo, del triángulo ADC
∠3 + ∠1 + ∠D = 180 o
Sumando estas dos ecuaciones,
∠4 + ∠2+ ∠B + ∠3 + ∠1+ ∠D = 360 o
⇒ (∠1 + ∠2) + (∠3+ ∠4) + ∠B + ∠D = 360 o
⇒ ∠A + ∠C+ ∠B + ∠D = 360 o
Por lo tanto, esto prueba que la suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Los ángulos de un cuadrilátero son 60°, 90°, 90°. Encuentra el cuarto ángulo restante.
Solución:
Sabemos por la propiedad de la suma de los ángulos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 ° .
Denote el cuarto ángulo por «x».
Asi que,
60° + 90°+ 90° + x = 360°
⇒ 180° + 60°+ x = 360°
⇒ 240°+ x = 360°
⇒x = 120°
Pregunta 2: Los ángulos de un cuadrilátero son (3x) ° , (3x + 30) ° , (6x + 60) ° , 90 ° . Encuentra el valor de todos los ángulos de los cuadriláteros.
Solución:
Sabemos que la suma de todos los ángulos del cuadrilátero son 360°.
3x + (3x + 30) + (6x + 60) + 90 = 360
⇒ (3x + 3x + 6x) + (30 + 60 + 90) = 360
⇒ (12x) + (180) = 360
⇒ 12x = 360 – 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 15°
Así, los ángulos son 45°, 75°, 150° y 90°
Pregunta 3: Si los ángulos de un cuadrilátero están en la razón 1: 2: 3: 4, ¿Encuentre el valor del ángulo más grande de ese cuadrilátero?
Solución:
Como la suma de los 4 ángulos de un cuadrilátero es 360°, podemos igualar los valores (multiplicando con una constante) de estas proporciones a 360°.
Supongamos que la constante que se multiplica es ‘x’
Podemos escribir, x+ 2x+ 3x+ 4x = 360
10x = 360
x = 36°
Por lo tanto, el ángulo mayor será 4x = 4×36 = 144°
Pregunta 4: En el trapecio dado a continuación, ∠A = 100°, ∠C = 80°, Encuentra el resto de los ángulos.
Solución:
Ya sabemos, en un trapecio, dos lados opuestos son paralelos entre sí, aquí, AB es paralelo a CD
Los ángulos interiores formados por dos rectas paralelas suman 180 ° (Propiedad de las rectas paralelas)
Por tanto, podemos escribir, ∠A + ∠D = 180 °
100 ° + ∠D = 180 °
∠D = 80 °
Del mismo modo, ∠B+ ∠C = 180 °
∠B + 80 ° = 180 °
∠B = 100 °
Pregunta 5: En la siguiente figura, los ángulos interiores del cuadrilátero se dan como,
∠ABC = 50°, ∠BAD = 20°, ∠BCD = 10°
¿Encuentra el valor del ángulo exterior ∠ADC?
Solución:
En un cuadrilátero, la suma de todos los ángulos interiores es 360 ° ,
∠ABC+ ∠BAD + ∠BCD + ∠ADC = 360 °
50 ° + 20 ° + 10 ° + ∠CAD = 360 °
∠CAD = 280 °
El ángulo que salió es el ángulo interior, la suma del ángulo interior y el ángulo exterior será 360,
Ángulo exterior ∠ADC = 360 – 280 = 80 °
Pregunta 6: En el paralelogramo ABCD dado, el valor de un ángulo interior es de 60 ° . Halla los valores de todos los demás ángulos.
Solución:
Se da el valor de ∠D de 60°. Necesitamos encontrar otros ángulos.
Sabemos que la suma de los ángulos adyacentes en un paralelogramo es 180°. Sea x el valor de ∠A.
x + 60° =180°
x = 120°
∠A = 120°
También sabemos que los ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales.
Asi que,
∠A = ∠C y ∠D = ∠B
Entonces, ∠A = 120°, ∠B = 60°, ∠C = 120° y ∠D = 60°
Pregunta 7: En el cuadrilátero dado, ∠A = 2x ° , ∠B = x ° , ∠C = 90 ° y ∠D = 3x °. Halla el valor del ángulo mayor.
Solución:
Sabemos que por la propiedad de la suma de los ángulos, la suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360 o
Entonces, ∠A + ∠B + ∠C+ ∠D = 360°
Dado que ∠C = 90°
Vamos a conectar el resto de los valores dados,
2x + x + 90 + 3x = 360
⇒ 6x = 360 – 90
⇒ 6x = 270
⇒ x = 45°
Entonces, el ángulo más grande es ∠D = 3x = 3(45) = 135°
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA