Propiedades de la transformada de Fourier

Transformada de Fourier: la transformada de Fourier es la herramienta de entrada que se utiliza para descomponer una imagen en sus componentes de seno y coseno.

Propiedades de la transformada de Fourier:

• Linealidad: La
  suma de dos funciones correspondientes a la suma de los dos espectros de frecuencia se denomina linealidad. Si multiplicamos una función por una constante, la transformada de Fourier de la función resultante se multiplica por la misma constante. La transformada de Fourier de la suma de dos o más funciones es la suma de las transformadas de Fourier de las funciones.

  Case I.
   If h(x) -> H(f) then ah(x) -> aH(f)
  Case II.
   If h(x) -> H(f) and g(x) -> G(f) then h(x)+g(x) -> H(f)+G(f)

• Escalado:
  el escalado es el método que se utiliza para cambiar el rango de las variables independientes o las características de los datos. Si estiramos una función por el factor en el dominio del tiempo, entonces exprimimos la transformada de Fourier por el mismo factor en el dominio de la frecuencia.

  If f(t) -> F(w) then f(at) -> (1/|a|)F(w/a)

• Derivación:
  La función diferenciadora con respecto al tiempo da como resultado el múltiplo constante de la función inicial.

  If f(t) -> F(w) then f'(t) -> jwF(w)

• Convolución:
  Incluye la multiplicación de dos funciones. La transformada de Fourier de una convolución de dos funciones es el producto puntual de sus respectivas transformadas de Fourier.

  If f(t) -> F(w) and g(t) -> G(w)
  then f(t)*g(t) -> F(w)*G(w)

• Cambio de frecuencia:
  la frecuencia se cambia de acuerdo con las coordenadas. Existe una dualidad entre los dominios de tiempo y frecuencia y el cambio de frecuencia afecta el cambio de tiempo.

  If f(t) -> F(w) then f(t)exp[jw't] -> F(w-w')

• Cambio de tiempo:
  El cambio de variable de tiempo también afecta la función de frecuencia. La propiedad de desplazamiento en el tiempo concluye que un desplazamiento lineal en el tiempo corresponde a un factor de fase lineal en el dominio de la frecuencia.

  If f(t) -> F(w) then f(t-t') -> F(w)exp[-jwt']