Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Una función real en el rango ƒ : R ⇒ [-1 , 1] definida por ƒ(x) = sin(x) no es una biyección ya que diferentes imágenes tienen la misma imagen como ƒ(0) = 0, ƒ(2π ) = 0,ƒ(π) = 0, entonces, ƒ no es uno-uno. Dado que f no es una biyección (porque no es uno a uno), la inversa no existe. Para hacer una función biyectiva podemos restringir el dominio de la función a [−π/2, π/2] o [−π/2, 3π/2] o [−3π/2, 5π/2] después de la restricción de dominio ƒ(x) = sin(x) es una biyección, por lo tanto ƒ es invertible. es decir, para hacer sin(x) podemos restringirlo al dominio [−π/2, π/2] o [−π/2, 3π/2] o [−3π/2, 5π/2] o……. pero [−π/2, π/2] es la solución principal de sinθ, por lo tanto, hacer que senθ sea invertible. Naturalmente, el dominio [−π/2, π/2] debe considerarse si no se menciona ningún otro dominio. 

• ƒ: [−π/2, π/2] ⇒ [-1, 1] se define como ƒ(x) = sin(x) y es una biyección, por lo que existe inversa. El inverso de sen ^-1 también se denomina arcoseno y las funciones inversas también se denominan funciones de arco.
• ƒ:[−π/2 , π/2] ⇒ [−1 , 1] se define como sinθ = x ⇔ sin ^-1 (x) = θ , θ pertenece a [−π/2 , π/2] y x pertenece a [−1 , 1] .

De manera similar, restringimos los dominios de cos, tan, cot, sec, cosec para que sean invertibles. A continuación se muestran algunas funciones trigonométricas con su dominio y rango.

Función	Dominio	Rango
pecado -1	[ -1 , 1 ]	[ −π/2 , π/2 ]
porque -1	[ -1 , 1 ]	[ 0 , π ]
bronceado -1	R	[ −π/2 , π/2 ]
cuna -1	R	[ 0 , π ]
segundo -1	( -∞ , -1 ] U [ 1,∞ )	[ 0 , π ] − { π/2 }
cosec -1	( -∞ , -1 ] U [ 1 , ∞ )	[ −π/2 , π/2 ] – {0}

Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Conjunto 1: Propiedades del pecado

1) sen(θ) = x ⇔ sen ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ], x ∈ [ -1 , 1 ]  

2) sen ^-1 (sen(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

3) sen(sen ^-1 (x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Ejemplos:

• sen(π/6) = 1/2 ⇒ sen ^-1 (1/2) = π/6 
• sen ^-1 (sen(π/6)) = π/6
• pecado(pecado ^-1 (1/2)) = 1/2

Conjunto 2: Propiedades de cos

4) cos(θ) = x ⇔ cos ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ [ -1 , 1 ]  

5) cos ^-1 (cos(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

6) cos(cos ^-1 (x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Ejemplos:

• cos(π/6) = √3/2 ⇒ cos ^-1 (√3/2) = π/6 
• cos – ¹ (cos(π/6)) = π/6
• cos(cos- ¹ (1/2)) = 1/2

Conjunto 3: Propiedades del bronceado

7) tan(θ) = x ⇔ tan ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] , x ∈ R

8) bronceado ^-1 (bronceado(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

9) tan(tan ^-1 (x)) = x , x ∈ R

Ejemplos:

• bronceado(π/4) = 1 ⇒ bronceado ^-1 (1) = π/4
• tan – ¹ (tan(π/4)) = π/4
• tan(tan ^-1 (1)) = 1

Conjunto 4: Propiedades de la cuna

10) cuna(θ) = x ⇔ cuna ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ R

11) cuna ^-1 (cuna(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

12) cuna(cot ^-1 (x)) = x , x ∈ R

Ejemplos:

• cuna(π/4) = 1 ⇒ cuna ^-1 (1) = π/4
• cuna(cuna ^-1 (π/4)) = π/4
• cuna(cuna(1)) = 1

Conjunto 5: Propiedades de sec

13) seg(θ) = x ⇔ seg ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 } , x ∈ (-∞,-1] ∪ [1,∞)

14) segundo ^-1 (segundo(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 }

15) segundo(segundo ^-1 (x)) = x , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Ejemplos:

• segundo(π/3) = 1/2 ⇒ segundo ^-1 (1/2) = π/3 
• segundo ^-1 (segundo(π/3)) = π/3
• segundo(segundo ^-1 (1/2)) = 1/2

Conjunto 6: Propiedades de cosec

16) cosec(θ) = x ⇔ cosec ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] – { 0 } , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1,∞ )

17) cosec ^-1 (cosec(θ)) = θ , θ ∈[ -π/2 , π ] – { 0 }

18) cosec(cosec ^-1 (x)) = x , x ∈ ( -∞,-1 ] ∪ [ 1,∞ )

Ejemplos:

• cosec(π/6) = 2 ⇒ cosec ^-1 (2) = π/6 
• cosec ^-1 (cosec(π/6)) = π/6
• cosec(cosec ^-1 (2)) = 2

Conjunto 7: Otras fórmulas trigonométricas inversas

19) sen ^-1 (-x) = -sen ^-1 (x) , x ∈ [ -1 , 1 ]  

20) cos ^-1 (-x) = π – cos ^-1 (x) , x ∈ [ -1 , 1 ]

21) tan ^-1 (-x) = -tan ^-1 (x) , x ∈ R

22) cuna ^-1 (-x) = π – cuna ^-1 (x) , x ∈ R

23) segundo ^-1 (-x) = π – segundo ^-1 (x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

24) cosec ^-1 (-x) = -cosec ^-1 (x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Ejemplos:

• pecado ^-1 (-1/2) = -sen ^-1 (1/2)
• cos ^-1 (-1/2) = π -cos ^-1 (1/2)
• tan – ¹ (-1) = π -tan(1)
• cuna ^-1 (-1) = -cuna ^-1 (1)
• segundo ^-1 (-2) = -segundo ^-1

Conjunto 8: Suma de dos funciones trigonométricas

25) sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

26) tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2 , x ∈ R

27) seg ^-1 (x) + cosec ^-1 (x) = π/2 , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Prueba:

sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

sea ​​sen ^-1 (x) = y 

ahora, 

x = sen y = cos((π/2) − y)

⇒ cos ^-1 (x) = (π/2) – y = (π/2) −sen ^-1 (x)

entonces, sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2                                        

tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2 , x ∈ R

Sea tan ^-1 (x) = y

ahora, cot(π/2 − y) = x 

⇒ cot ^-1 (x) = (π/2 − y)

tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = y + π/2 − y

entonces, tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2 

De manera similar, también podemos demostrar el teorema de la suma de arcsec y arccosec.

Conjunto 9: Conversión de funciones trigonométricas 

28) sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x) , x≥1 o x≤−1

29) cos ^-1 (1/x) = seg ^-1 (x) , x ≥ 1 o x ≤ −1

30) tan ^-1 (1/x) = −π + cot ^-1 (x)

Prueba:

sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x) , x ≥ 1 o x ≤ −1

sea, x = cosec(y)

1/x = sen(y)

⇒ sen ^-1 (1/x) = y

⇒ sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x)

De manera similar, podemos probar el teorema de arccos y arctan también

Ejemplo:

sen ^-1 (1/2) = cosec ^-1 (2)

Conjunto 10: conversión de funciones periódicas

arcsen(x) = (-1) ⁿ arcsen(x) + πn

arcocos(x) = ±arco cos x + 2πn

arctan(x) = arctan(x) + πn

arccot(x) = arccot(x) + πn

donde n = 0, ±1, ±2, ….