Propiedades de las integrales definidas

Una integral que tiene un límite se conoce como integral definida. Tiene un límite superior y un límite inferior. se representa como 

\int_{a}^{b}   f(x) = F(b) − F(a)

Hay muchas propiedades con respecto a la integral definida. Discutiremos cada propiedad una por una con pruebas también.

Propiedades

Propiedad 1: \int_{a}^{b}    f(x) dx =  \int_{a}^{b}    f(y) dy

Prueba:

\int_{a}^{b}    f(x) dx…….(1)

Supongamos que x = y

           dx = dy

Poniendo esto en la ecuación (1)

\int_{a}^{b}    f(y) día

Propiedad 2: \int_{a}^{b}    f(x) dx = – \int_{b}^{a}    f(x) dx

Prueba:

\int_{a}^{b}    f(x) dx = F(b) – F(a)……..(1)

\int_{b}^{a}    f(x) dx = F(a) – F(b)………. (2)

De (1) y (2) 

Podemos derivar  \int_{a}^{b}    f(x) dx = – \int_{b}^{a}    f(x) dx

Propiedad 3: \int_{a}^{b}   f(x) dx =  \int_{a}^{p}   f(x) dx +  \int_{p}^{b}   f(x) dx

Prueba:

\int_{a}^{b}    f(x) dx = F(b) – F(a) ………..(1)

\int_{a}^{p}    f(x) dx = F(p) – F(a) ………..(2)

\int_{p}^{b}    f(x) dx = F(b) – F(p) ………..(3)

De (2) y (3)

\int_{a}^{p}   f(x) dx +  \int_{p}^{b}   f(x) dx = F(p) – F(a) + F(b) – F(p)

\int_{a}^{p}   f(x) dx +  \int_{p}^{b}   f(x) dx = F(b) – F(a) =  \int_{a}^{b}   f(x) dx    

Por lo tanto, está probado.

Propiedad 4.1: \int_{a}^{b}    f(x) dx =  \int_{a}^{b}   f(a + b – x) dx

Prueba:

Suponer 

a + b – x = y…………(1)

-dx = dy 

Desde (1) puedes ver 

cuando x = un  

y = a + b – a

y = segundo

y cuando x = b

y = a + b – b

y = un

Reemplazando por estos valores, la integración en el lado derecho se convierte en  -\int_{b}^{a}    f(y)dy

De la propiedad 1 y la propiedad 2 se puede decir que 

\int_{a}^{b}    f(x) dx =  \int_{a}^{b}   f(a + b – x) dx  

Propiedad 4.2: Si el valor de a se da como 0, entonces la propiedad 4.1 se puede escribir como

 \int_{0}^{b}    f(x) dx =  \int_{0}^{b}   f(b – x) dx

Propiedad 5: \int_{0}^{2a}    f(x) dx =  \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(2a – x) dx

Prueba:

Podemos escribir  \int_{0}^{2a}    f(x) dx como

\int_{0}^{2a}    f(x) dx =  \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{a}^{2a}   f(x) dx ………….. (1)

yo = yo 1 + yo

(de la propiedad 3)

Supongamos que 2a – x ​​= y

-dx = dy

También cuando x = 0

y = 2a, y cuando x = a

y = 2a – a = a

Entonces,  \int_{0}^{a}    f(2a – x)dx se puede escribir como 

-\int_{2a}^{a}    f(y) dy = yo 2

Reemplazando la ecuación (1) con el valor de I 2 obtenemos 

\int_{0}^{2a}    f(x) dx =  \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(2a – x) dx

Propiedad 6: \int_{0}^{2a}    f(x) dx = 2 \int_{0}^{a}   f(x) dx; si f(2a – x) = f(x)

                                                      = 0 ; si f(2a – x) = -f(x) 

Prueba: 

De la propiedad 5 podemos escribir  \int_{0}^{2a}    f(x) dx como

\int_{0}^{2a}    f(x) dx = \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(2a – x) dx ………….(1)

Parte 1: Si f(2a – x) = f(x) 

Entonces la ecuación (1) se puede escribir como 

\int_{0}^{2a}   f(x) dx = \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(x) dx

Esto se puede escribir más como 

\int_{0}^{2a}    f(x) dx = 2  \int_{0}^{a}   f(x) dx

Parte 2: Si f(2a – x) = -f(x)

Entonces la ecuación (1) se puede escribir como 

 \int_{0}^{2a}    f(x) dx=  \int_{0}^{a}   f(x) dx –  \int_{0}^{a}   f(x) dx

Esto se puede escribir más como 

\int_{0}^{2a}    f(x) dx= 0

Propiedad 7: \int_{-a}^{a}    f(x) dx = \int_{0}^{a}   f(x) dx; si una función es par, es decir, f(-x) = f(x)

                                                      = 0 ; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x) 

Prueba: 

De la propiedad 3 podemos escribir 

\int_{-a}^{a}    f(x) dx como 

\int_{-a}^{a}    f(x) dx =  \int_{-a}^{0}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(x) dx ………(1)

Suponer 

\int_{-a}^{0}    f(x) dx = I1 ……(2)

Ahora, suponga que x = -y

Entonces, dx = -dy

Y también cuando x = -a entonces

y= -(-a) = a

y cuando x = 0 entonces, y = 0

Poniendo estos valores en la ecuación (2) obtenemos

I 1-\int_{a}^{0}    f(-y)dy

Usando la propiedad 2, I 1 se puede escribir como 

I 1\int_{0}^{a}    f(-y)dy

y usando la propiedad 1 I 1 se puede escribir como 

1 =   f(-x) dx\int_{0}^{a}

Poniendo el valor de I 1 en la ecuación (1), obtenemos

\int_{-a}^{a}    f(x) dx =  \int_{0}^{a}   f(-x) dx + \int_{0}^{a}   f(x) dx ……….(3)

Parte 1: Cuando f(-x) = f(x)

Entonces la ecuación (3) se convierte en

\int_{-a}^{a}    f(x) dx =  \int_{0}^{a}   f(x) dx +  \int_{0}^{a}   f(x) dx

\int_{-a}^{a}    f(x) dx = 2 \int_{0}^{a}   f(x) dx 

Parte 2: Cuando f(-x) = -f(x)

Entonces la ecuación 3 se convierte en

\int_{-a}^{a}    f(x) dx = – \int_{0}^{a}   f(x) dx + \int_{0}^{a}   f(x) d

\int_{-a}^{a}    f(x)dx = 0

Ejemplos

Ejemplo 1: I =  \int_{0}^{1}    x(1 – x) 99 dx

Solución:

Usando la propiedad 4.2, la pregunta dada se puede escribir como 

\int_{0}^{1}    (1 – x) [1 – (1 – x)] 99 dx

\int_{0}^{1}    (1 – x) [1 – 1 + x] 99 dx

 \int_{0}^{1}   (1 – x)x 99 dx

\begin{bmatrix} \frac{x^{100}}{100} - \frac{x^{101}}{101} \end{bmatrix}_{0}^{1}

= 1/100 – 1/101

= 1 / 10100

Ejemplo 2 : I =  \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{-1}{2}}    cos(x) log \begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}

Solución:

f(x) = cos(x) log \begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}

 f(-x) = cos(-x) registro \begin{vmatrix} \frac{1-x}{1+x} \end{vmatrix}

 f(-x) = -cos(x) registro \begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}

f(-x) = -f(x)

Por lo tanto la función es impar. Entonces, usando la propiedad 

\int_{-a}^{a}    f(x)dx = 0; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x) 

\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{-1}{2}}    cos(x) log  \begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}    = 0

Ejemplo 3: I =  \int_{0}^{5}    [x] dx

Solución:

\int_{0}^{1}    0 dx +  \int_{1}^{2}   1 dx +  \int_{2}^{3}    2 dx + \int_{3}^{4}    3 dx +  \int_{4}^{5}    4 dx [usando la Propiedad 3]

= 0 + [x] 2 1 + 2[x] 3 2   + 3[x] 4 3 + 4[x] 5 4 

= 0 + (2 – 1) + 2(3 – 2) + 3(4 – 3) + 4(5 – 4)

= 0 + 1 + 2 + 3 + 4

= 10

Ejemplo 4: I =   \int_{-1}^{2}    |x| dx

Solución:

\int_{-1}^{0}    (-x) dx +  \int_{0}^{2}    (x) dx [usando la Propiedad 3] 

= -[x 2 /2] 0 -1 + [x 2 /2] 2  

= -[0/2 – 1/2] + [4/2 – 0]

= 1/2 + 2

= 5/2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ntptiwari y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *