Los límites forman la base de la teoría del cálculo. Los límites de las funciones se utilizan para definir las derivadas de las funciones, comprobar la continuidad de las funciones, etc. Intuitivamente, el valor del límite de una función en un punto particular nos da una idea sobre el valor próximo de la función. Tenga en cuenta que al calcular los límites no estamos calculando el valor exacto de la función que ese punto en particular. Nos interesa más buscar la dirección o el punto al que se acerca la función. Definamos límites y veamos propiedades con más detalle.
Límites
Los límites se utilizan en cálculo para definir diferenciales, continuidades, integrales, y se definen como el valor de aproximación de la función con la entrada acercándose para determinar el valor. Digamos que tenemos una función f(x) = x 2 . En el gráfico que se muestra a continuación, observe que cuando x⇢0, f(x) también tiende a convertirse en cero. Esto se puede escribir en términos de límite como, 
. Se lee como el límite de f(x) cuando x tiende a cero.
En general, como x ⇢ a, f(x) ⇢ l, entonces l se llama límite de la función f(x). También se puede escribir como,
A veces, algunas funciones no son continuas, es decir, parecen aproximarse a dos valores diferentes cuando se abordan desde dos lados. Por ejemplo, veamos esta función de paso dada en la figura a continuación.
Esta función se puede definir como,
Supongamos que queremos acercarnos a cero y ver el límite de la función. Esto naturalmente conduce a direcciones desde las cuales podemos acercarnos. Límites del lado izquierdo y del lado derecho. El límite del lado derecho es el valor de la función que toma al acercarse a ella por el lado derecho del punto deseado. De manera similar, el límite del lado izquierdo es el valor de la función al acercarse a ella desde el lado izquierdo.
Para esta función particular,
Límite del lado izquierdo, 
límite del lado derecho, 
Álgebra de Límites
Digamos que tenemos dos funciones, f(x) y g(x). Lo sabemos 
y 
existimos. Las propiedades dadas a continuación describen el comportamiento de los límites cuando estas dos funciones se combinan de diferentes maneras. Estas se presentan sin prueba, pero veremos algunos ejemplos sobre estas propiedades para comprobarlas.
Propiedad 1:
El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de ambas funciones.
![\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f29ddb67064e529e9fcda24c36e18957_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Propiedad 2:
El límite de diferencia de dos funciones es la diferencia de los límites de ambas funciones.
![\lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}g(x)](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5ce5cb3b59ad056c733084f665c9c69_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Propiedad 3:
El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de ambas funciones.
![\lim_{x \to a}[f(x).g(x)] = \lim_{x \to a}f(x). \lim_{x \to a}g(x)](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70145f22c9db6c0a9165078ddde03763_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Propiedad 4:
El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites de ambas funciones.
![\lim_{x \to a}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{ \lim_{x \to a}g(x)}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3f67bd7a6f397ffe0bada2bc3b57a74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Límite de funciones compuestas
La composición de dos funciones f(x) y g(x) se denota por (fog)(x), lo que significa que el rango de la función g(x) debe estar en el dominio de la función f(x). Ahora, para calcular el límite de la composición de las dos funciones, usamos la siguiente propiedad:
Veamos algunos ejemplos de problemas sobre estos conceptos,
Problemas de muestra
Pregunta 1: Dada la función f(x) = 
. Encuentra 
_
Solución:
Veamos este límite gráficamente,
Podemos ver en el gráfico mientras nos acercamos a la función desde cualquiera de los lados hacia cero. Los valores comienzan a ir al infinito.
Pregunta 2: Encuentra el valor del límite de la función f(x) = x + cos(x) cuando x ⇢ 0.
Solución:
La siguiente figura muestra la gráfica de la función,
Sabemos que f(x) es una combinación de dos funciones diferentes. Podemos usar las propiedades estudiadas anteriormente, la propiedad 1 funciona para nuestro caso.
Sabemos que f(x) = x + cos(x). Digamos h(x) = x y g(x) = cos(x) y usando la propiedad anterior obtenemos.
=
=
= 1
![\lim_{x \to 0}[h(x) + g(x)] = \lim_{x \to 0}h(x) + \lim_{x \to 0}g(x)](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6516c47ebb28a6695e35027a38c5002_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pregunta 3: Encuentra el valor del límite de la función f(x) = (x 2 + x +1)e x cuando x ⇢ 0.
Solución:
Sabemos que f(x) es una combinación de dos funciones diferentes. Podemos usar las propiedades estudiadas anteriormente, la propiedad 3 funciona para nuestro caso.
Sabemos f(x) = (x 2 + x +1)e x Digamos h(x) = x 2 + x +1 y g(x) =e x y usando la propiedad anterior obtenemos.
=
= 1 + 1
= 2
![\lim_{x \to a}[f(x).g(x)] = \lim_{x \to a}f(x). \lim_{x \to a}g(x)](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09131dbe5c4435fbef7d08516c1530e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\lim_{x \to 0}[h(x).g(x)] =( \lim_{x \to 0}h(x))(\lim_{x \to 0}g(x))](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-634b52bd18b33289c3402ec7a90013c7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pregunta 4: Encuentra el valor del límite de la función f(x) = 
cuando x ⇢ 0.
Solución:
Sabemos que f(x) es una combinación de dos funciones diferentes. Podemos usar las propiedades estudiadas anteriormente, la propiedad 4 funciona para nuestro caso.
Sabemos f(x) =
=
=
=
![\lim_{x \to a}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{ \lim_{x \to a}g(x)}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-069dea5fba811c72165d6e56c752b4bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pregunta 5: Encuentra el valor del límite de la función del lado izquierdo y del lado derecho cuando x ⇢ 0, f(x) = 
.
Solución:
Veamos este límite gráficamente,
Observe en el gráfico que al acercarse desde el lado izquierdo, las funciones parecen tomar el valor -1 y al acercarse desde el lado derecho, las funciones parecen tomar el valor 3.
De este modo,
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA