Proporciones directas e inversas | Matemáticas de clase 8

Geethika usa 4 tazas de agua para cocinar 2 tazas de arroz todos los días. Un día, cuando algunos invitados visitaron su casa, necesitaba cocinar 6 tazas de arroz. ¿Cuántas tazas de agua necesitará para cocinar 6 tazas de arroz? Nos encontramos con muchas situaciones de este tipo en nuestra vida cotidiana, donde observamos un cambio en una cantidad provoca un cambio en la otra cantidad. Por ejemplo,

• ¿Cuál es el peso de 20 paquetes de alimentos, si el peso de 40 paquetes es de 35,17 kg? Claramente, el peso de 20 paquetes de alimentos es menor.
• Si depositamos más dinero en un banco, ¿qué puedes decir sobre el interés ganado? Definitivamente, el interés ganado también será mayor.
• ¿Qué sucede con el número total de artículos vendidos, si hay más clientes? Claramente, el número total de artículos vendidos aumentará.
• ¿Qué sucede con el tiempo total necesario para realizar una tarea, si hay más trabajadores? Definitivamente, lleva menos tiempo con más trabajadores.

En los ejemplos anteriores, podemos observar que el cambio en una cantidad conduce al cambio en otra cantidad. Entonces, para ayudar a Geethika, necesitamos estudiar algunos tipos de variaciones.

Proporción directa

Con motivo del Aniversario Escolar, el Director de la escuela decidió emprender una plantación de árboles jóvenes. El número de estudiantes en cada clase se da a continuación en forma de tabla.

Clase	VI	VII	viii	IX	X
Numero de estudiantes	7	10	11	14	17

Cada estudiante tiene que plantar dos árboles jóvenes. Encuentre el número de árboles jóvenes necesarios para plantar para cada clase.

Clase	VI	VII	viii	IX	X
Numero de estudiantes	7	10	11	14	17
Número de arbolitos necesarios	14	20	22	28	34

¿Qué puede decir sobre el número de árboles jóvenes necesarios? ¿Qué tipo de cambio observa en el número de estudiantes y el número de árboles jóvenes requeridos? Ambos aumentan o ambos disminuyen.

 número de árboles jóvenes necesarios 14 20 22 2

———————————— = —– = —– = —– = ………. = —– = 2

 número de estudiantes 7 10 11 1 

Aquí, 2 es una constante y se llama constante de proporción. Como la razón es la misma, llamamos a esta variación Proporción Directa. Si x e y son dos cantidades tales que ambas aumentan o disminuyen juntas y x/y permanece constante (digamos k), entonces decimos que x e y están en proporción directa. Esto se escribe como x ∝ y y se lee como x es directamente proporcional a y.

   ∴ (x/y) = k —-> x = ky donde k es constante de proporción

∴ De manera similar, si y1 e y2 son los valores de y correspondientes a los valores de x1 y x2 de x respectivamente, entonces

 x1 x2
 

—– = —– 

y1 y2

Ahora, ayudemos a nuestro amigo Geethika a encontrar el número total de tazas de agua necesarias para cocinar 6 tazas de arroz. Como se mencionó anteriormente, Geethika usa 4 tazas de agua para cocinar 2 tazas de arroz.

Número de tazas de arroz	2	6
Número de tazas de agua	4	12

Aquí, se puede observar que la cantidad de tazas de agua requerida aumenta con el aumento de la cantidad de tazas de arroz.

 número de tazas de agua 4 12 2

——————————– = —– = —– = —–

 número de tazas de arroz 2 6 1

En este caso, 2 es la constante de proporción. Aquí, se dice que las dos cantidades, el número de tazas de agua y el número de tazas de arroz, están en proporción directa entre sí. 

número de tazas de agua ∝ número de tazas de arroz

Resolvamos algunos problemas de ejemplo ahora,

Ejemplos

Ejemplo 1: Un poste vertical de 10 m de altura proyecta una sombra de 20 m de largo. ¿Encuentra la altura de otro poste que proyecta una sombra de 80 m de largo en condiciones similares?

Solución: 

La longitud de la Sombra es directamente proporcional a la altura del poste.

Altura del poste	10	?
Longitud de la sombra	20	80

Entonces, (x1 / y1) = (x2 / y2). Aquí, x1 = 10m y1 = 20m x2 = ? y y2 = 80m.

Al sustituir los valores,

(10 / 20) = (x2 / 80)

x2 = (10×80) / 20

x2 = 40m

Por tanto, la altura de otro poste es x2 = 40m.

Ejemplo 2: si el costo de 50 m de tela es Rs. 1500, entonces cual sera el costo de 10m de esa tela?

Solución:

El costo de la tela es directamente proporcional a la longitud de la tela.

Longitud de tela	50m	10m
costo de la tela	$1500	?

Entonces, (x1 / y1) = (x2 / y2). Aquí, x1 = 50m y1 = Rs.1500 x2 = 10m y2 = ?

Al sustituir los valores,

(50 / 1500) = (10 / y2)

y2 = (10 x 1500) / 50

y2 = 300

Por lo tanto, el costo de 10 m de tela es de 300 rupias.

Ejemplo 3 : A continuación se muestran las tarifas de estacionamiento de vehículos cerca de una estación de autobuses.

Número de horas  (X)	Cargos de estacionamiento (y)
hasta 4 horas	40 rupias
hasta 8 horas	80 rupias
hasta 12 horas	120 rupias
hasta 24 horas	240 rupias

¿Verificar si las tarifas de estacionamiento y las horas de estacionamiento están en proporción directa?

Solución:

Podemos observar que las tarifas de estacionamiento (y) aumentan con el aumento del número de horas (x). Calculemos el valor de (x/y). Si es una constante, entonces están en proporción directa. De lo contrario, no están en proporción directa.

  x 4 8 12 24 1

—– = —– = —– = —– = —– = —– 

  y 40 80 120 240 10

Aquí, (1/10) es constante y se llama constante de proporción. Puedes observar fácilmente que todas estas proporciones son iguales. Entonces están en Proporción Directa.

Ejemplo 4: Si el costo de 35 bolsas de arroz del mismo tamaño es Rs. 28.000. ¿Cuál es el costo de 100 bolsas de arroz del mismo tipo?

Solución:

Sabemos que si aumenta la cantidad de bolsas de arroz compradas, el costo también aumenta. Por lo tanto, el costo de los sacos de arroz varía directamente con el número de sacos de arroz comprados.

Número de bolsas de arroz (x)	35	100
Costo (año)	Rs. 28,000	?

Entonces, (x1 / y1) = (x2 / y2) Aquí x1 = 35 y1 = Rs. 28000 x2 = 100 y2 = ?

Al sustituir los valores,

(35 / 28000) = (100 / y2)

y2 = (100 * 28000) / 35

y2 = 80,000

Por lo tanto, el costo de 100 bolsas de arroz del mismo tamaño es y2 = Rs. 80.000

Proporción inversa

Una empresa de paquetería tiene un número determinado de paquetes para entregar. Si la empresa contrata a 36 personas, tarda 12 días. Si solo hay 18 personas, se tardará 24 días en terminar la tarea. Usted ve como el número de personas se reduce a la mitad el tiempo empleado se duplica, si la empresa contrata a 72 personas, ¿el tiempo empleado será la mitad? Sí, lo es. Echemos un vistazo a la tabla. 

Número de personas	36	18	9	72	108
Tiempo tomado	12	24	48	6	4

¿A cuántas personas debe contratar una empresa si quiere entregar los paquetes en un día?

Dos cantidades cambian de tal manera que, si una cantidad aumenta, la otra cantidad disminuye en la misma proporción y viceversa, lo que se llama proporción inversa. En el ejemplo anterior, el número de personas contratadas y el número de días son inversamente proporcionales entre sí. Simbólicamente, esto se representa como 

                                                                    1

número de días necesarios ∝ ———————————-

                                                  número de personas contratadas                                       

Si x e y están en proporción inversa, entonces x ∝ (1 / y)

x = k / y —-> xy = k donde k es constante de proporcionalidad

Si y1 e y2 son los valores de y correspondientes a los valores de x1 y x2 de x respectivamente, entonces

 x1 x2

—- = —- o x1y1 = x2y2 ( = k ) 

y1 y2

Ejemplos

Ejemplo 1: si 36 trabajadores pueden construir un muro en 12 días, ¿cuántos días tardarán 16 trabajadores en construir el mismo muro? (asumiendo que el número de horas de trabajo por día es constante)

Solución:

Si el número de trabajadores disminuye, el tiempo de construcción del muro aumenta en la misma proporción. Claramente, el número de trabajadores varía inversamente al número de días.

Así que aquí x1y1 = x2y2 donde x1 = 36 trabajadores x2 = 16 trabajadores y y1 = 12 días y2 = ( ? ) días

Nº de trabajadores	Nº de días
36	12
dieciséis	y2

Dado que el número de trabajadores está disminuyendo.

36 ÷ x = 16 –> x = 36 / 16

Entonces el número de días aumentará en la misma proporción, es decir,

(36 / 16) * 12 = 27 días

Sustituye, (36 / 16) = (y2 / 12) —> y2 = (12 * 36) / 16 = 27 días.

Por lo tanto, 16 obreros construirán el mismo muro en 27 días.

Ejemplo 2: Un automóvil tarda 4 horas en llegar a su destino viajando a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará si el automóvil viaja a una velocidad de 80 Km/h?  

Solución:

A medida que aumenta la velocidad, el tiempo empleado disminuye en la misma proporción. Entonces se toma el tiempo y varía inversamente a la velocidad del vehículo, para la misma distancia.

Método 1

Velocidad	Tiempo
60	4
80	X

(60 / 80) = (x / 4)

60×4 = (80xx)

x = (60 x 4) / 80 = 3 horas.

Método 2

Velocidad	Tiempo
60	4 ÷ x
80	y

(60)(x) = 80 y 4 ÷ x = y

x = 80 / 60

4 ÷ (80 / 60) = y

y = (4 x 60) / 80 = 3 horas.

Por tanto, el tiempo que tarda en recorrer la distancia a una velocidad de 80 Km/h es de 3 horas.

Ejemplo 3: Se requieren 6 bombas para llenar un tanque en 1 hora 40 minutos. ¿Cuánto tiempo tomará si solo se usan 10 bombas del mismo tipo?

Solución:

Sea x minutos el tiempo deseado para llenar el tanque. Así, tenemos la siguiente tabla.

Número de bombas	6	10
Tiempo (en minutos)	100	X

Cuanto menor sea el número de bombas mayor será el tiempo necesario para llenar el tanque. 

Entonces, este es un caso de proporción inversa. 

Por lo tanto, (100)(6) = (x)(10) [x1 y1 = x2 y2]

o (100 x 6) / 10 = x

o x = 60 minutos

Por lo tanto, el tiempo necesario para llenar el tanque con 10 bombas es de 60 minutos o 1 hora.

Ejemplo 4: Una escuela tiene 7 períodos al día cada uno de 45 minutos de duración. ¿Cuánto duraría cada período si la escuela tiene 5 períodos al día? (suponiendo que el número de horas escolares sea el mismo)

Solución:

Sea x minutos la duración deseada de cada período. Así, tenemos la siguiente tabla.

Número de períodos	7	5
Tiempo para cada período (en minutos)	45	X

Cuanto menor sea el número de períodos al día, mayor será la duración de cada período.

entonces, este es un caso de proporción inversa.

Por lo tanto, (7)(45) = (x)(5) [x1 y1 = x2 y2]

o (7 x 45) / 5 = x

o x = 63 minutos

Así, el tiempo de duración de cada periodo si la escuela tiene 5 periodos al día es de 63 minutos o 1 hora 3 minutos.