Prueba: ¿Por qué la raíz cuadrática media de dos números positivos siempre es mayor que su media geométrica?

Este artículo se enfoca en discutir la prueba de por qué la raíz cuadrada media de dos números positivos siempre es mayor que su media geométrica. Antes de entrar en los detalles de la prueba, analicemos primero las terminologías básicas:

Raíz cuadrática media (RMS) :
Considere algunos números, A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , …. AN _{, la raíz} cuadrada media de estos números será igual a la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de estos números, es decir 

For A1, A2, A3 ... AN, the RMS value equals to-
Root Mean Square (RMS) = √(((A1)2 + (A2)2 + (A3)2 +...+ (AN)2)/N)

For two numbers, A and B, their RMS value equals to- 
Root Mean Square (RMS) = √((A2 + B2)/2)

RMS también se conoce como la media cuadrática y tiene una amplia gama de aplicaciones. En estadística, a menudo se usa como una alternativa al término desviación estándar . También se utiliza en muchos conceptos relacionados con la física, como la electricidad, etc.

Media Geométrica (GM) :
Considere algunos números, A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , …. AN, la media geométrica de estos números será igual a la n-ésima raíz cuadrada de la multiplicación de todos estos números, es  _decir

For A1, A2, A3 ... AN, the GM value equals to-
Geometric Mean (GM) = n√(A1 * A2 * A3 * ... * AN)

For two numbers, A and B, the GM value equals to-
Geometric Mean (GM) = √(A * B)

Se usa para encontrar el promedio o la media de secuencias geométricas, lo que nos ayuda a estudiar y analizar muchos conceptos de la vida real, como el crecimiento de bacterias, inversiones, etc.

Declaración del problema:
la raíz cuadrada media de dos números positivos siempre es mayor que la media geométrica de los mismos dos números.

Solución:
Considere dos números, A y B, tales que A, B > 0 y A ≠ B.

1. Considere la fórmula del cuadrado de la diferencia entre dos números positivos:

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 --- (1)

2. Se sabe que el cuadrado de un número siempre es mayor o igual a cero. Pero aquí tenemos A ≠ B. Entonces, se puede escribir como-

(A - B)2 > 0

3. Expandiendo el lado izquierdo de la ecuación anterior usando la propiedad definida en la ecuación 1-

A2 - 2AB + B2 > 0

4. Después de hacer algunos arreglos-

A2 + B2 > 2AB

5. Sumergir la ecuación anterior por 2-

((A2 + B2)/2) > (A * B)

6. Dado que ambos lados son mayores que 0, es decir, positivos. Después de elevar al cuadrado ambos lados, se obtiene la siguiente ecuación:

√((A2 + B2)/2) > √(A * B)

Observe que el lado izquierdo es la raíz cuadrada media y el lado derecho es igual a la media geométrica de A y B. Esto prueba que la raíz cuadrada media siempre es mayor que la media geométrica para dos números positivos.