Puntos críticos

A medida que aumenta la complejidad de las funciones, vemos un comportamiento cada vez más complejo en sus gráficos y se vuelve más difícil de graficar. Hay muchos picos y valles en sus gráficos. Se vuelve esencial averiguar la posición de estos valles y picos, los picos se llaman máximos y los valles se llaman mínimos. Puede haber más de un máximo y un mínimo en cada gráfico. Estos picos y valles nos permiten encontrar el valor mínimo y máximo de la función en un intervalo. Usamos derivadas para encontrar la posición de estos puntos críticos. 

Puntos Máximos y Mínimos

Digamos que tenemos una función f(x), la gráfica de esta función se muestra a continuación. Los máximos y mínimos de esta función son picos y valles presentes en el gráfico de esta función. Por ejemplo, podemos ver en la figura que en x = b y x = a, es un canal, por lo tanto, es un mínimo, de manera similar, x = a es un máximo. Puede haber más de un máximo y un mínimo. El valor mínimo de la función se llama mínimos globales y, de manera similar, el valor máximo de la función se llama máximos globales. Todos los demás máximos y mínimos se denominan máximos locales y mínimos locales. 

Veamos las definiciones formales de máximos y mínimos.

Digamos que f es una función definida en el intervalo I, Entonces, 

1. Se dice que f tiene un valor máximo en I, si existe un punto c en I tal que f(c) > f(x), para todo x∈ I.
2. Se dice que f tiene un valor mínimo en I, si existe un punto c en I tal que f(c) < f(x), para todo x∈ I.
3. Se dice que f tiene un valor extremo en I si existe un punto c en I tal que f (c) es un valor máximo o un valor mínimo de f en I.

Ejemplo: Encuentre el valor mínimo y máximo de la función f(x), a partir del gráfico que se muestra a continuación, f(x) = |x|. 

Solución: 

En el gráfico de la función dada f(x), 

En x = 0, f(x) = 0 y para todo x∈ R excepto x = 0, f(x) > 0. 

Por lo tanto, el valor mínimo de la función es x = 0. 

El valor máximo de la función es infinito. 

Nota:

Una función que es monótonamente creciente o decreciente tiene sus mínimos y máximos en los extremos del intervalo correspondiente. Por ejemplo, la línea en la figura siguiente crece monótonamente. Los máximos y mínimos del intervalo están en los extremos del intervalo. 

Las funciones que tienen más de un mínimo y máximo tienen algunos mínimos locales y máximos locales y máximos y mínimos globales. La siguiente figura tiene más de un mínimo y un máximo. Los llamamos mínimo local y máximo local. 

Para una función de valor real f y un punto interior c en el dominio de f. Después, 

1. c se llama punto de máximos locales si hay un h > 0 , tal que, 

f(c) > f(x) para todo x en (c – h, c + h)

El valor en el punto c, f(c) se llama máximo local. 

2. c se llama punto de mínimos locales si hay a h > 0 , tal que, 

f(c) < f(x) para todo x en (c – h, c + h)

El valor en el punto c, f(c) se llama mínimo local.  

Prueba de la primera derivada

Ahora veamos cómo determinar los puntos de mínimos y máximos. La siguiente figura muestra los mínimos y máximos de dos funciones. Observe que en el punto de los mínimos y máximos locales, la pendiente de la tangente es cero. 

La siguiente regla nos ayuda a encontrar la diferencia entre máximos y mínimos en la siguiente función. 

Para una función f definida en el intervalo abierto I, sea c un punto crítico c en I. Entonces, 

1. El punto c se llama máximos locales. Si f'(x) cambia de signo de positivo a negativo a medida que x aumenta a través de c, es decir, si f'(x) > 0 en todos los puntos cercanos a c y a la izquierda, y f'(x) < 0 en todos los puntos cercanos a c hacia ya la derecha de c y f'(x) < 0 en todos los puntos cercanos a ya la derecha de c. 

2. El punto c se llama mínimos locales. Si f ′(x) cambia de signo de negativo a positivo a medida que x aumenta a través de c, es decir, si f ′(x) < 0 en cada punto cercano a c y a la izquierda, y f ′(x) > 0 en cada punto punto cerca ya la derecha de c. 

3. El punto es un punto de inflexión si f ′(x) no cambia de signo cuando x aumenta a través de c, entonces c no es ni un punto de máximos locales ni un punto de mínimos locales. 

Esta prueba se llama prueba de la primera derivada. 

Prueba de la segunda derivada 

Esta prueba también se utiliza para verificar los mínimos o máximos locales en puntos críticos. Esto es a menudo más fácil de aplicar que la prueba de la primera derivada. 

Para una función f definida en el intervalo abierto I, sea c un punto crítico c en I. Suponiendo que la función f es dos veces diferenciable en el punto c, 

1. x = c es un máximo local si f'(x) = 0 y f”(x) < 0. 

2. x = c es un mínimo local, si f'(x) = 0 y f”(x) > 0. 

3. Esta prueba falla si f'(c) = 0 y f”(c) = 0. 

Para el tercer caso, volvemos al criterio de la primera derivada y comprobamos. 

Veamos algunos problemas sobre estos conceptos. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra los puntos críticos para la siguiente función f(x) = x ⁴ – x ² . 

Solución: 

Para la función f(x) = x ⁴ – x ² . Sabemos que los puntos críticos son los puntos donde f'(x) =0 

f'(x) = 4x ³ – 2x

⇒ f'(x) = 0 

⇒ 4x ³ – 2x= 0 

⇒ x(4x ² – 2) = 0 

Las raíces de esta ecuación son, 

x = 0, x = 

Así, los puntos críticos son, x = 0, 

Pregunta 2: Encuentra los puntos críticos para la siguiente función f(x) =x ³ + 3x ² + 3x.

Solución:  

 Para la función f(x) = x ³ + 3x ² + 3. Sabemos que los puntos críticos son los puntos donde f'(x) =0 

f'(x) = 3x ² + 6x + 3

⇒ f'(x) = 0 

⇒ 3x ² + 6x + 3= 0 

⇒ 3(x2 + ^2x + 1) = 0 

⇒ 3(x + 1) ² = 0

Las raíces de esta ecuación son, 

x = -1

Así, los puntos críticos son, x = -1. 

Pregunta 3: Averigüe los máximos y mínimos relativos para la siguiente función, 

f(x) = x3 ^– 3×2 + ³

Solución: 

Primero tenemos que encontrar los puntos críticos, 

f'(x) = 3x ² – 6x

⇒ f'(x) = 0 

⇒ 3x ² – 6x= 0 

⇒ 3x(x – 2) = 0 

⇒ 3x(x – 2) = 0

Las raíces de esta ecuación son, 

x = 0 y x = 2. 

Así, los puntos críticos son, x = 0 y 2.

Ahora tenemos que comprobar si estos son máximos o mínimos. Podemos usar el criterio de la segunda derivada. 

f”(x) =6x – 6

En x = 0, f”(x) < 0. Por lo tanto, x = 0 es un máximo local. 

En x = 2, f”(x) > 0. Por lo tanto, x = 2 es un mínimo local.  

Pregunta 4: Encuentra los máximos y mínimos relativos para la siguiente función en el intervalo [0,4], 

f(x) = 3x + 3

Solución: 

Primero tenemos que encontrar los puntos críticos, 

f'(x) = 3

⇒ f'(x) = 3 

Observe que esta función tiene una derivada constante que es positiva. Eso significa que esta función está en constante aumento en la naturaleza. Esta es una función monótonamente creciente.

De la propiedad mencionada anteriormente, las funciones monótonamente crecientes tienen sus máximos y mínimos en el límite del intervalo. Así, en el intervalo [0,4], f(x) es monótonamente creciente. Entonces, sus mínimos se encuentran en x = 0 y los máximos en x = 4. 

Pregunta 5: Encuentra los puntos críticos para la siguiente función f(x) =senx.

Solución: 

 Para la función f(x) = sin(x). Sabemos que los puntos críticos son los puntos donde f'(x) =0 

f'(x) = cos(x)

⇒ f'(x) = 0 

⇒ cos(x)= 0 

Las raíces de esta ecuación son, 

x = 

Así, los puntos críticos son, x =