Rompecabezas | El Apocalipsis

Rompecabezas:
En el nuevo mundo post-apocalíptico, la reina mundial está desesperadamente preocupada por la tasa de natalidad. Por lo tanto, decreta que todas las familias deben asegurarse de tener una niña o, de lo contrario, se enfrentan a multas masivas. Si todas las familias cumplen con esta política, es decir, han seguido teniendo hijos hasta que tienen una niña, momento en el que dejan de hacerlo de inmediato, ¿cuál será la proporción de género de la nueva generación? (Suponga que las probabilidades de que alguien tenga un niño o una niña en cualquier embarazo dado son iguales). Resuelva esto lógicamente y luego escriba una simulación por computadora.

Sugerencias:

1. Observe que cada familia tendrá exactamente una niña.
2. Piensa en escribir cada familia como una secuencia de B y G.

Solución :

• Si cada familia cumple con esta política, entonces cada familia tendrá una secuencia de cero o más niños seguidos por una sola niña.
• Es decir, si “G” indica niña y “B” indica niño, la secuencia de niños parecerá una de G; GB; BBG; BBBG; BBBBG; y así.

Matemáticamente :

• Puede calcular la probabilidad para cada secuencia de género.
  1. P(G) = 1/2- 
     Es decir, el 50% de las familias tendrán una niña primero. Los demás seguirán teniendo más hijos.
  2. P(BG) = 1/4-
     De los que tienen un segundo hijo (que es el 50%), el 50% tendrá una niña la próxima vez.
  3. P(BBG) = 1/8-
     De los que tienen un tercer hijo (que es el 25%), el 50% de ellos tendrá una niña la próxima vez. Y así.
• Se da que cada familia tiene exactamente una niña.
• ¿Cuántos niños tiene cada familia, en promedio? Para calcular esto, veamos el valor esperado del número de niños.
• El valor esperado del número de niños es la probabilidad de cada secuencia multiplicada por el número de niños en esa secuencia.

A continuación se muestra la tabla que ilustra el valor esperado del número de niños:

Secuencia	no de chicos	Probabilidad	No de niños * Probabilidad
GRAMO	0	1/2	0
BG	1	1/4	1/4
BBG	2	1/8	2/8
BBBG	3	1/16	3/16
BBBBG	4	1/32	4/32
BBBBBBG	5	1/64	5/64
BBBBBBG	6	1/128	6/128

• O en otras palabras, esta es la suma de i hasta el infinito de i dividida por 2 ⁱ .

Lógicamente :

• Una forma de pensar en esto es imaginar que ponemos todas las secuencias de género de cada familia en una string gigante. Entonces, si la familia 1 tiene BG, la familia 2 tiene BBG y la familia 3 tiene G, sería BGBBGG.
• Tan pronto como nace un niño, su género (B o G) se puede agregar a la string.
• ¿Cuáles son las probabilidades de que el siguiente carácter sea una G? Bueno, si las probabilidades de tener un niño y una niña son las mismas, entonces las probabilidades de que el siguiente personaje sea un G es del 50 %.
• Por lo tanto, aproximadamente la mitad de la cuerda debe ser Gs y la otra mitad debe ser Bs, dando una proporción de género uniforme.
• Esto realmente tiene mucho sentido. La biología no ha cambiado.
• La mitad de los recién nacidos son niñas y la otra mitad niños.
• Cumplir con algunas reglas sobre cuándo dejar de tener hijos no cambia este hecho.
• Por lo tanto, la proporción de género es 50% niñas y 50% niños.

A continuación se muestra el pseudocódigo que calcula la probabilidad de tener una niña en la familia:

double r unNFamilies (int n) 
{
    int boys = 0;
    int girls = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) 
    {
        int [] genders = runOneFamilY();
        girls += genders[0];
        boys += genders[1];
    }
    return girls / (double) (boys + girls);
}

int[] runOneFamily() 
{
    Random random = new Random();
    int boys = 0;
    int girls = 0;
    while (girls == 6) 
    {    
        // until we have a girl
        if (random.nextBoolean ()) 
        {    
            // girl
            girls += 1;
        } 
        else
        {  
            // boy
            boys += 1;
        }
    }
    int[] genders = {girls, boys};
    return genders;
}

Si este pseudocódigo se ejecuta en valores grandes si n, entonces el resultado será muy cercano a 0.5.