La medición es una rama de las matemáticas que se ocupa de la medición de figuras geométricas bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D) y sus parámetros como longitud, forma, área de superficie, área de superficie lateral, volumen, etc. En palabras simples, describe los principios de cálculo basados en ecuaciones algebraicas, fórmulas matemáticas y también las propiedades de varias formas geométricas. Los círculos, triángulos, cuadriláteros y pentágonos son algunos ejemplos de formas geométricas en 2D, mientras que las esferas, cubos, prismas, cilindros, etc. son ejemplos de formas geométricas en 3D. Arquímedes es conocido como el padre de la medición.
Rombo
En geometría euclidiana, un rombo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí y las longitudes de los cuatro lados son iguales. Un rombo es un tipo especial de paralelogramo con diagonales que se bisectan y se intersecan entre sí en ángulos rectos, es decir, 90°. Los ángulos internos opuestos de un rombo son iguales, y la suma de los cuatro ángulos de un rombo es igual a 360°. Un rombo tiene la forma de un diamante, por lo que también se le llama diamante. Un cuadrado es un caso especial de un rombo, ya que también tiene cuatro lados iguales con diagonales que se bisecan entre sí en ángulo recto. Aparte de eso, los cuatro ángulos interiores de un cuadrado son ángulos rectos.
Diagonales de un rombo
Una diagonal es un segmento de línea que conecta los vértices opuestos de un polígono. Un rombo tiene dos diagonales que se bisecan entre sí en ángulos rectos, es decir, 90°, y por lo tanto, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes. Veamos algunas de las propiedades de las diagonales de los rombos.
- Las diagonales de un rombo se bisecan en ángulo recto.
- Las diagonales de un rombo bisecan los ángulos opuestos de un rombo.
- La longitud de las diagonales de un rombo puede o no ser igual.
- La longitud de las diagonales se puede encontrar usando varias fórmulas, es decir, el área de un rombo, el teorema de Pitágoras.
- Se puede formar otro rombo en un rombo uniendo los puntos medios de las medias diagonales.
area de un rombo
El área cubierta por un rombo en un plano 2D se llama área de un rombo. La fórmula para el área de un rombo es igual al producto de las longitudes de las diagonales dividido por 2.
Área del rombo = (d 1 × d 2 )/2 unidades cuadradas
Donde d 1 y d 2 son las longitudes de las diagonales.
perímetro de un rombo
El perímetro de un rombo es la suma de los cuatro lados o la longitud total de sus límites. La fórmula para el perímetro de un rombo es igual a cuatro veces la longitud de su lado.
El perímetro de un rombo = 4a unidades
Donde a es la longitud del lado de un rombo.
Ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo
Consideremos un rombo ABCD y O como el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
Ahora, considere ΔAOB y ΔAOD
OB = OD [Ya que las diagonales de un rombo se bisecan entre sí]
OA = OA [Lado común de ambos triángulos]
AB = DA [Ya que los lados de un rombo son iguales]
Por lo tanto, por el teorema SSS (lado lado lado), ΔAOB y ΔAOD son congruentes.
Como ΔAOB y ΔAOD son congruentes, todos los lados y ángulos correspondientes deben ser iguales.
Por lo tanto, ∠AOB = ∠AOD.
Como BD es una línea recta, la suma de los ángulos ∠AOB y ∠AOD debe ser igual a 180°.
Entonces, ∠AOB + ∠AOD = 180°
⇒ 2 ∠AOD = 180°
⇒ ∠DOA = 180°/2 = 90°
⇒ ∠AOB = ∠AOD = 90°
Por tanto, el ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo es un ángulo recto, es decir, de 90°.
Problemas de muestra
Problema 1: Encuentra la diagonal de un rombo si su área es de 150 cm 2 y la longitud de su diagonal más corta es de 10 cm.
Solución:
Dados los datos,
Área de un rombo = 150 cm
La longitud de la diagonal más corta = 10 cm.
Lo sabemos,
Área del rombo = ½ d 1 d 2 unidades cuadradas
⇒ 150 = (d 1 × 10)/2
⇒ 300 = re 1 × 10 ⇒ re 1 = 30 cm
Por lo tanto, la longitud de la diagonal más larga del rombo es de 30 cm.
Problema 2: Encuentra el perímetro del rombo si la longitud de cada lado es de 11 cm.
Solución:
Dados los datos,
Longitud del lado del rombo = 11 cm.
Lo sabemos,
El perímetro de un rombo = 4a unidades
= 4 × 11 = 11 unidades.
Por lo tanto, el perímetro del rombo es de 44 cm.
Problema 3: Encuentra el valor de x si AO = 4x-7 y OC = 3x+11, donde AC es la diagonal de un rombo y O es su centro.
Solución:
Dados los datos,
AO = 4x-7 y OC = 3x + 11
Lo sabemos,
Las diagonales del rombo se bisecan entre sí.
Por lo tanto, AO = OC
⇒ 4x – 7 = 3x + 11
⇒ 4x – 3x = 11 + 7
⇒ x = 18
Por lo tanto, el valor de x = 18
Problema 4: Encuentra el valor de y en la figura que se muestra a continuación.
Solución:
Dados los datos,
∠OCD = 41° y ∠CDO = y
Sabemos que el ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo es un ángulo recto, es decir, de 90°.
Por lo tanto, ΔDOC es un triángulo rectángulo.
⇒ ∠DOC = 90°
Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
⇒ ∠OCD + ∠DOC+ ∠CDO = 180°
⇒ 41° + 90° + y = 180°
⇒ y = 180° – 90° – 41° = 49°
Por lo tanto, el valor de y = 49°.
Problema 5: Halla el área de un rombo si su perímetro es de 60 cm y la longitud de una de sus diagonales es de 18 cm.
Solución:
Dados los datos,
Sean “a” cada lado de un rombo
El perímetro de un rombo = 60 cm
La longitud de una diagonal = 18 cm
Lo sabemos,
El perímetro de un rombo = 4a
⇒ 4a = 60 ⇒ a = 60/4
⇒ un =15cm
Sabemos que el ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo es un ángulo recto, es decir, de 90°.
Entonces, considere el triángulo rectángulo BOC
Sabemos que las diagonales del rombo se bisecan entre sí.
Entonces, OB = BD/2 = 9 cm
Por el teorema de Pitágoras,
BC 2 = OB 2 + OC 2
⇒ OC 2 = BC 2 – OB 2
= (15) – 9 = 225 – 81 = 144
⇒ CO = √144 ⇒ CO = 12 cm.
Ahora AC = 2 × OC = 2 × 12 = 24 cm.
Lo sabemos,
Área de un rombo (A) = (d 1 × d 2 )/2 unidades cuadradas
⇒ A = (24 × 18)/2 = 432/2 = 216 cm2
Por lo tanto, el área del rombo dado = 216 cm2
Problema 6: Encuentra el valor de y en la figura que se muestra a continuación.
Solución:
Dados los datos,
∠OAB = 36 y ∠OBC = x
Sabemos que el ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo es un ángulo recto, es decir, de 90°.
Por lo tanto, ΔAOB es un triángulo rectángulo.
⇒ ∠AOB = 90°
Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
⇒ ∠OAB + ∠AOB + ∠ABO = 180°
⇒ 36° + 90° + ∠ABO = 180°
⇒ ∠ABO = 180° – 90° – 36° = 54°
Sabemos que las diagonales de un rombo bisecan los ángulos opuestos de un rombo.
Entonces, ∠ABO = ∠OBC = 54°
Por lo tanto, el valor de x es 54°.
Problema 7: Encuentra el área de un rombo si la longitud de cada lado es de 10 cm y la longitud de una diagonal es de 16 cm.
Solución:
Dados los datos,
longitud de cada lado de un rombo = 10 cm
La longitud de una diagonal = 16 cm
Sabemos que el ángulo formado en la intersección de las diagonales de un rombo es un ángulo recto, es decir, de 90°.
Considere el triángulo rectángulo OAB
Sabemos que las diagonales del rombo se bisecan entre sí.
AB = 10 cm
OA = AC/2 = 16/2 = 8 cm
Por el teorema de Pitágoras,
AB 2 = OA 2 + OB 2
⇒ OB 2 = AB 2 – OA 2
= (10) 2 – 8 2 = 100 – 64 = 36
⇒ BO = √36 ⇒ BO = 6 cm
Ahora, BD = 2 × OB = 2 × 6 = 12 cm
Lo sabemos,
Área de un rombo (A) = (d 1 × d 2 )/2
⇒ A = (16 × 12)/2 = 192/2 = 96 cm2
Por lo tanto, el área del rombo dado = 96 cm2
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA