La probabilidad es la posibilidad de que algo suceda. Cuando decimos la probabilidad de algo, nos referimos a la probabilidad de que algo sea. Algunos eventos tienen una alta probabilidad y es muy probable que sucedan, y otros tienen menos probabilidad, lo que significa que es muy poco probable que sucedan. Ejemplos: la probabilidad de obtener cruz al lanzar una moneda imparcial es 1/2 y la probabilidad de obtener un número mayor que 4 al lanzar un dado es 1/3. En otras palabras, es la medida de la posibilidad de que el evento ocurra como resultado de un experimento.
La teoría de la probabilidad es un instrumento muy poderoso para organizar, interpretar y aplicar información que es muy útil en varios dominios como la ciencia de datos, el comercio, las apuestas de caballos, etc.
Experimento Binomial
Un experimento binomial es un experimento en el que hay un número fijo de pruebas (digamos n), cada prueba es independiente de las demás, solo 2 resultados: éxito o fracaso, y la probabilidad de cada resultado permanece constante de una prueba a otra. Ejemplos de los experimentos binomiales,
| Experimento Binomial | Posibles resultados |
|---|---|
| ¿Apareció 2 en los dados? | Sí No |
| Condición de una declaración | Verdadero Falso |
| Tirando una moneda | Cara / Cruz |
Probabilidad Binomial
Cuando se da cualquier experimento binomial en el que estamos realizando experimentos aleatorios varias veces (por ejemplo, lanzar una moneda al aire 7 veces o tirar un dado 10 veces), entonces averiguar la probabilidad de un cierto resultado en n intentos se llama su probabilidad binomial . Considere que un experimento binario tiene n intentos independientes con dos resultados:
- Éxito
- Falla
Ahora la probabilidad de obtener r éxitos en n intentos es:
PAG = nC r .p r .q n-r
donde p = probabilidad de éxito y q = probabilidad de fracaso tal que p + q = 1.
Representación gráfica de la distribución binomial simétrica
La distribución binomial consta de múltiples eventos de Bernoulli. La diferencia entre la distribución de Bernoulli y la distribución Binomial es que el valor esperado de la distribución de Bernoulli da el resultado esperado para un solo ensayo, mientras que el valor esperado de la distribución Binomial sugiere la cantidad de veces que se espera obtener un resultado específico. El gráfico de distribución binomial representa la probabilidad de lograr el resultado deseado un número específico de veces.
Problemas de muestra
Pregunta 1: si se lanza una moneda imparcial 7 veces, averigüe la probabilidad de obtener exactamente 3 caras.
Solución:
Dado el número de intentos (n) = 7, el número de éxitos (r) = 3
= Probabilidad de éxito = Probabilidad de sacar cara en una prueba (p) = 1/2
= Probabilidad de fracaso = Probabilidad de no sacar cara en una prueba (q) = 1/2
Ahora aplicando la fórmula de probabilidad binomial:
= Probabilidad de obtener exactamente 3 caras (P) = n C r .p r .q n – r
= 7 C 3 .(1/2) 3 × (1/2) 4
= (7!/3!.4!) × (1/2) 7
= 35/128
Pregunta 2: Se lanza un dado 5 veces y obtener un número primo impar se considera un éxito. Encuentre la probabilidad de:
- Exactamente un éxito
- Al menos un éxito
Solución :
Dado: Número de intentos (n) = 5,
Número de números primos impares del 1 al 6 = 2 (3, 5)
= Probabilidad de éxito = Probabilidad de sacar un 3 o un 5 en los dados(p) = 2/6 = 1/3
= Probabilidad de fracaso = Probabilidad de no sacar 1, 2, 4, 6 en los dados (q) = 1 – 1/3 = 2/3
- Exactamente un éxito (r = 1)
Aplicando la fórmula de probabilidad binomial:
=> Probabilidad de obtener exactamente 1 éxito (P) = n C r .p r .q n-r
= 5 C 1 . (1/3) 1 . (2/3) 4
= 80/243 (respuesta)
- Al menos un éxito (r = 1, 2, 3, 4, 5)
Ahora, dado que se da al menos un éxito, agregue todas las probabilidades binomiales para r = 1, 2, 3, 4, 5
Aplicando la fórmula de probabilidad binomial:
= Probabilidad de obtener al menos 1 éxito (P) = P(r = 1) + P(r = 2) + P(r = 3) + P(r = 4) + P(r = 5)
(obteniendo 1 éxito) (2 éxito) (3 éxito) (4 éxito) (5 éxito)
= 1 – P(r = 0) (sin éxito)
= 1 – norte C 0 .p 0 .q norte – 0
= 1 – 5 C 0 .(1/3) 0 .(2/3) 5
= 1 – 32/243
= 211/243
Pregunta 3: Joker roba 4 cartas de una baraja bien barajada de 52 cartas con reemplazo. Calcula la probabilidad de que saque al menos 3 reyes de la baraja.
Solución:
Dado: Número de cartas a sacar (n) = 4
Éxito = conseguir un rey
Probabilidad de obtener una carta de rey de 52 cartas aleatorias (p) = 4/52 = 1/13 (Dado que el número total de reyes = 4 y cada carta se reemplaza después de cada selección)
Probabilidad de fallo (q) = 1 – 1/13 = 12/13
= Probabilidad de obtener al menos 3 reyes en este caso = P(r = 3) + P(r = 4)
(obteniendo 3 reyes) (obteniendo 4 reyes)
Aplicando fórmula de probabilidad binomial = 4 C 3. (1/13) 3 .(12/13) 1 + 4 C 4 .(1/13) 4 .(12/13) 0
= (1/13) 3 .(4.12/13 + 1/13) (Tomando común en ambos lados)
= 49/28561
Pregunta 4: Está dando una prueba de MCQ que tiene solo 5 preguntas. En cada pregunta se dan 4 opciones y cada pregunta puede tener una o más de una respuesta correcta. Como no has estudiado nada para el examen, decides marcar todas las respuestas al azar. Calcule la probabilidad de que responda exactamente 3 preguntas correctas de 5, solo para aprobar su examen.
Solución:
Dado: Número de preguntas (n) = 5
Ahora, para encontrar la probabilidad de éxito, primero, encuentre el total
ninguna de las formas en que se puede responder una pregunta.
Como se muestra en la figura anterior, hay 4 casos:
= número de formas de responder una pregunta cuando solo 1 opción es correcta = 4 C 1 = 4 formas
= número de formas de responder una pregunta cuando 2 opciones son correctas = 4 C 2 = 6 formas
= número de formas de responder una pregunta cuando 3 opciones son correctas = 4 C 3 = 4 formas
= número de formas de responder una pregunta cuando 4 opciones son correctas = 4 C 4 = 1 forma
Sumando todas las formas, el número total de formas = 15 formas.
Ahora, de estas 15 formas, solo una será correcta para una pregunta en particular.
Por lo tanto, la probabilidad de éxito (es decir, obtener una respuesta correcta) = 1/15
Y la probabilidad de falla = 1 – 1/15 = 14/15
Ahora,
La probabilidad de que respondas exactamente 3 preguntas correctas de 5
= 5 C 3 .(1/15) 3 .(14/15)
= 10. (196/759375)
= 392/151875
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por saraswatgaurang y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA