La combinación de dos o más líneas que se estiran hasta el infinito y nunca se cortan entre sí se llama líneas paralelas o líneas coplanares. Las líneas paralelas se denotan con un símbolo especial, dado por ||.
Propiedades:
- Se dice que dos rectas son paralelas si mantienen una distancia perpendicular constante entre ellas
- Las pendientes de dos rectas paralelas son iguales
- Nunca se cruzan entre sí
- Siempre tienen un ángulo de base igual a cualquier eje.
Si las líneas a y b son paralelas, entonces ∠A = ∠B
Ángulos relacionados con rectas paralelas
- Ángulos alternos: Son los ángulos que se forman cuando una recta corta a dos rectas, que se encuentran en lados opuestos de la recta transversal y lados opuestos relativos de las otras rectas. Si las dos rectas son iguales, entonces los ángulos alternos también son iguales.
Aquí, los ángulos alternos son iguales, ∠A = ∠B
- Ángulos correspondientes: Los ángulos formados cuando una transversal se corta con cualquier par de rectas se denominan ángulos correspondientes. Si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos correspondientes también son iguales.
Aquí, los ángulos correspondientes son iguales, ∠A = ∠B
- Ángulos interiores: si una recta transversal corta a dos rectas paralelas, entonces la suma de cada par de ángulos internos del mismo lado de la recta transversal es suplementaria.
∠A + ∠B = 180 o
Pendiente de las Líneas
La pendiente es una medida para determinar la medida en que la línea está orientada a un eje. En general, definimos la pendiente como la tangente del ángulo entre el eje X y una línea. Si el ángulo entre el eje X y una línea dada es θ, entonces
Aquí, tanθ es la pendiente y b es la intersección
Pendiente = tanθ
1. Para una recta con ecuación y = mx + b , definimos:
- m: Pendiente de la recta dada
- b: Intersección de la línea en el eje Y.
2. Si se dan dos puntos (a,b) y (c,d) en la línea, entonces podemos encontrar la pendiente de la línea usando la fórmula:
(a,b) y (c,d) son dos puntos en la recta
Pendiente = (b – d) / (a – c)
La ecuación de la línea se puede determinar considerando un punto (x, y) en la línea. Como también podemos encontrar la pendiente en términos de x e y, podemos escribir
Pendiente = (y – d) / (x – c)
Igualando esto con el valor real de la pendiente, podemos derivar la ecuación para la línea dada como,
(y – d) / (x – c) = (b – d) / (a – c)
3. Para una línea dada ax + by + c = 0 , podemos escribir la pendiente como:
Pendiente = – a / b
Problemas de muestra
Pregunta 1. ¿Son paralelas las rectas y = 2x + 3 y 5y = 10x + 21?
Solución:
Dadas las líneas son
y = 2x + 3 — (yo)
5y = 10x + 21 — (ii)
Dividiendo la ecuación (ii) por 5, obtenemos:
5y/5 = 10x/5 + 21/5
y = 2x + 4.2
Por lo tanto, vemos que la pendiente de ambas líneas es igual a 2, por lo tanto, las líneas son paralelas.
Pregunta 2. Determina la pendiente de la línea 2x + 5y + 6 = 0.
Solución:
Dado que la línea dada tiene la forma de ax + by + c = 0, podemos comparar los valores de a , b y c y obtener sus valores como,
a = 2, b = 5 y c = 6
Por tanto, la pendiente de la recta = -a/b = – 2/5 = -0,40
Pregunta 3: Determina la ecuación de una recta que pasa por (1, 2) y es paralela a la recta y = 2x + 5.
Solución:
La recta dada y = 2x + 5 tiene pendiente igual a 2.
Consideramos cualquier punto (x, y) en cuya línea necesitamos encontrar la ecuación. Entonces, podemos escribir la pendiente de la recta como:
Pendiente = (y – 2)/(x – 1)
Como esta línea es paralela a y = 2x + 5, la pendiente de la línea también es igual a 2. Entonces, podemos escribir:
(y – 2) / (x – 1) = 2y-2 = 2x-2
y = 2x
Entonces, la ecuación de la línea es y = 2x
Pregunta 4. Si una recta pasa por los puntos (k, 2) y (6, 7) y es paralela a la recta 3x – 3y + 5 = 0, entonces encuentra el valor de k.
Solución:
La recta dada es paralela a la recta 3x – 3y + 5 = 0. Dado que tiene la forma de ax + by + c = 0, podemos escribir,
Pendiente de esta recta = – a / b = – 3 / (-3) = 1
En términos de los dos puntos, podemos escribir la pendiente de la línea dada como,
Pendiente = (7 – 2) / (6 – k) = 5 / (6 – k)
Como las rectas son paralelas, podemos escribir:
5 / (6 – k) = 1
6 – k = 5
k = 1
Por lo tanto, el valor de k es 1.
Pregunta 5. Una línea es paralela a la línea y = x + 3. Encuentra el ángulo interno entre la línea y el eje X.
Solución:
Como las rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente.
Entonces, la pendiente de la recta dada = Pendiente de y = x + 3 = 1
Sea θ el ángulo formado por la línea y el eje X, entonces podemos escribir:
tanθ = 1
θ = bronceado -1 (1) =45 o
Entonces, el ángulo entre la línea y el eje X es igual a 45 o .