En geometría, dos figuras u objetos se consideran congruentes si tienen la misma forma y tamaño, o si uno de ellos tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. Más formalmente, se dice que un conjunto de dos puntos es congruente solo si uno puede transformarse en el otro usando el método isométrico. En otras palabras, puede mover y reflejar cualquier objeto para que coincida exactamente con otro objeto, pero no puede cambiar su tamaño. Entonces, si puedes cortar dos formas planas diferentes en una hoja de papel y unirlas perfectamente, son congruentes. En este sentido, la congruencia de dos figuras planas significa que sus respectivas propiedades son “congruentes” o “iguales”, incluyendo sus respectivos lados y ángulos, así como sus respectivas diagonales, perímetros y áreas.
Congruencia de Triángulos
La congruencia de dos o más triángulos depende de la medida de los lados y de los ángulos. Los tres lados de un triángulo determinan el tamaño y los tres ángulos del triángulo determinan la forma. Se dice que dos triángulos son congruentes si sus correspondientes pares de lados y sus correspondientes ángulos son iguales. Son de la misma forma y tamaño. Estos triángulos se pueden deslizar, rotar, voltear y voltear para que se vean iguales. Si los reorganizas, coinciden entre sí. El signo de congruencia es “≅”.
En matemáticas, congruencia significa que dos figuras son similares en forma y tamaño. Hay básicamente cuatro leyes de congruencia que prueban la congruencia de dos triángulos. Sin embargo, necesitas encontrar las seis dimensiones. Por lo tanto, la congruencia de un triángulo se puede estimar conociendo solo tres de seis valores.
Congruencia en Triángulos
Se dice que dos triángulos son congruentes si tres ángulos y tres lados de un triángulo son iguales a los ángulos y lados correspondientes de otro triángulo. De Δ PQR y ΔXYZ, observamos que PQ = XY, PR = XZ, QR = YZ y ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y y ∠R = ∠Z. Entonces podemos decir ΔPQR ≅ ΔXYZ. Dos triángulos deben tener el mismo tamaño y forma para ser congruentes. Dos triángulos para ser considerados deben superponerse, cuando rotas, reflejas o mueves un triángulo, su posición o forma no cambiará.
Condiciones de Congruencia en Triángulos
Se dice que dos triángulos son congruentes si tres ángulos y tres lados de un triángulo son iguales a los ángulos y lados correspondientes de otro triángulo. No es necesario encontrar los seis elementos correspondientes de dos triángulos para determinar la congruencia. Estudios y experimentos han demostrado que existen cinco condiciones bajo las cuales dos triángulos son congruentes.
- Regla SSS (Lado – Lado – Lado)
Se dice que dos triángulos son congruentes según la ley SSS si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados correspondientes del segundo triángulo. En la figura dada, AB = PQ, BC = QR, AC = PR,
Por lo tanto, ΔABC ≅ ΔPQR
- Regla SAS (Lado – Ángulo – Lado)
Se dice que dos triángulos son congruentes SAS si el ángulo entre dos lados de un triángulo es igual al ángulo entre dos lados del segundo triángulo. En la figura dada, los lados son AB = PQ, AC = PR, y el ángulo entre AC y AB es igual al ángulo entre PR y PQ. Es decir, ∠A = ∠P. Entonces, ∆ABC ≅ ∆PQR.
- Regla ASA (Ángulo – Lado – Ángulo)
De acuerdo con los criterios de ASA, dos triángulos son congruentes si dos ángulos de un triángulo y el lado entre ellos son iguales a los ángulos correspondientes de otro triángulo y el lado entre ellos.
En la figura anterior, ∠ B = ∠ Q, ∠ C = ∠ R, y los lados entre ∠ B y ∠ C, ∠ Q y ∠ R son iguales. Es decir, BC = QR. Entonces ∆ABC ≅ ∆PQR.
- Regla AAS (Ángulo – Ángulo – Lado)
Según el criterio AAS, dos triángulos son congruentes si dos ángulos de un triángulo y un lado que no está entre ellos son iguales al ángulo correspondiente del otro triángulo y los lados que no están entre ellos son iguales. Según el criterio AAS, si ΔABC ≅ ΔXYZ, entonces el tercer ángulo (∠ABC) y los otros dos lados (AC y BC) ΔABC deben ser iguales a ese ángulo (∠XYZ) y los lados (XZ e YZ) ΔXYZ.
- Regla RHS (ángulo recto-hipotenusa-lado)
Dos triángulos rectángulos son congruentes por el lado derecho si la hipotenusa y el lado de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y el lado del segundo triángulo rectángulo. En la figura anterior, la hipotenusa es XZ = RT y el lado es YZ = ST, por lo que ∆XYZ ≅ ∆RST.
Lado Ángulo Lado
La congruencia SAS es un término también conocido como congruencia de ángulos laterales que se usa para describir la relación entre dos formas congruentes. Echemos un vistazo más de cerca a la congruencia de triángulos SAS para entender qué significa SAS.
Estos dos triángulos son del mismo tamaño y forma. Entonces podemos decir que coinciden. Se pueden ver como ejemplos de triángulos congruentes. Podemos representar esto en forma matemática usando el símbolo del triángulo congruente (≅), (ΔDEF ≅ ΔPQR). Es decir, D corresponde a P, E corresponde a Q y F corresponde a R. ED corresponde a PQ, EF a QR y DF a PR. Por lo tanto, podemos concluir que las partes correspondientes del triángulo congruente son iguales.
Fórmula SAS (Lado del ángulo lateral)
La fórmula del ángulo lateral, también conocida como fórmula SAS, se usa para calcular el área de un triángulo usando las reglas de la trigonometría. Esta fórmula, basada en el teorema del ángulo lateral, te ayuda a calcular el área de un triángulo. Como sugiere el nombre, el lado del ángulo lateral se refiere a dos lados y al ángulo entre ellos. Aprendamos más sobre la fórmula del ángulo para encontrar el área de un triángulo.
Derivación de la fórmula SAS (Lado del ángulo lateral)
Sabemos que el área de un triángulo se da como área = 1/2 × base × altura. Entonces, consideremos el triángulo dado para comprender la derivación de la fórmula SAS utilizando los pasos que se detallan a continuación.
Paso 1: Se dan dos lados “a” y “b”, el ángulo entre ellos “c”.
Paso 2: Dibuje ‘p’ perpendicular desde X al lado YZ y use una relación trigonométrica para escribir el valor de p como p = a × sen c. Suponga que p es la altura y aplique la fórmula. Sen c = p/a.
Paso 3: Porque sabemos que el área del triángulo = 1/2 × base × altura. Sustituyendo el valor de la base en b y la altura de p, el área del triángulo es = 1/2 × b × p.
Paso 4: Como p = a × sen c, aplicando la fórmula para el área del triángulo es = 1/2 × b × a × sen c.
Entonces, fórmula SAS, área = 1/2 × a × b × sen c.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: ¿Qué es el Principio SAS?
Solución:
El teorema SAS dice que dos triángulos son congruentes cuando los dos lados y los ángulos entre ellos son iguales. Este requisito no hace que los triángulos sean similares sino congruentes.
Pregunta 2: ¿Para qué se usa la fórmula del ángulo lateral?
Responder:
Si conoce dos lados y el ángulo entre ellos, puede usar la fórmula de cambio de ángulo para encontrar el área de un triángulo. Otro uso de la fórmula es que puedes usar la ley trigonométrica de los cosenos para encontrar la hipotenusa, que es el lado desconocido de un triángulo rectángulo. Podemos usar la ley de los senos para encontrar el ángulo más pequeño y luego, conociendo los dos ángulos, podemos calcular el tercer ángulo del triángulo.
Pregunta 3: ¿Cuál es el área de un triángulo cuando se dan tres lados y un ángulo?
Responder:
Dados los lados de un triángulo junto con los ángulos entre ellos, el área del triángulo se puede calcular mediante la fórmula
Área = (ab × sin C)/2, donde “a” y “b” son los dos lados dados y C es el ángulo entre ellos. Este método también se conoce como el método del ángulo lateral. Por ejemplo, si dos lados de un triángulo miden 9 y 11 unidades, y el ángulo entre los dos lados es de 60°, entonces el área = (11× 9 × sen 60°)/2 = 42,86 unidades 2 .
Pregunta 4: ¿Cómo encontrar el perímetro del triángulo SAS?
Responder:
El perímetro de un triángulo se define como la longitud total de los límites del triángulo. Es decir, perímetro = suma de todas las longitudes de los lados de un triángulo.
Dado un triángulo ABC con dos lados conocidos AB y AC, y un ángulo ∠BAC entre los dos lados. Sea b la longitud de AB, b la longitud de AC y c la longitud de BC, entonces el perímetro se puede dar como perímetro = a + b + c. Dado que c es desconocido, se puede obtener de la fórmula del coseno (la ley de los cosenos o la ley de los cosenos) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(∠BAC). Entonces, el perímetro del triángulo SAS = a + b + √[a 2 + b 2 − 2abcos(∠BAC)] .
Pregunta 5: ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de 15 cm y 18 cm y el ángulo entre ellos es de 45°?
Solución:
Por fórmula del lado del ángulo lateral,
Área del triángulo = 1/2 × a × b × sen c
Dado, a = 15cm
b = 18 cm
Área = 1/2 × 15 × 18 × sen 45°= 95,47 cm 2 .
Pregunta 6: ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de 5 cm y 10 cm y el ángulo entre ellos es de 30°?
Solución:
La fórmula para un lado es,
Área del triángulo = (1/2) × lado 1 × lado 2 × sen (incluido el ángulo)
Dado, lado 1 = 5 cm, lado 2 = 10 cm, sin (incluido el ángulo) = sin 30° = 1/2. valores sustitutivos,
Área = (1/2) × 5 × 10 × sen 30°
= (1/2) × 5 × 10 × (1/2)
= 12,5 cm 2 .
Entonces, el área del triángulo es 12,5 cm 2 .
Pregunta 7: Si EA = 30 unidades, ED = 20 unidades y ∠AED = 30°, encuentra el área del cuadrilátero ADCB. Además, B divide EA por 1:2 y C es el punto medio de ED.
Solución:
Se da que los lados,
EA = 40 unidades y ED = 30 unidades
Además, ángulo entre EA y ED = ∠AED = 30°
Por fórmula del lado del ángulo lateral, Área de ΔAED = 1/2 × EA × ED × sen (30°) = 1/2 × 40 × 30 × sen (30°) = 300 unidades 2
Como B divide EA por 1:2
3EB = EA
EB = AE/3 = 40 / 3 = 13,3 unidades
Dado que C es el punto medio de ED, EC = ED/2 = 30/2 = 15 unidades
Ahora el área de ΔECB = 1/2 × EB × EC × sin (30°) =1/2 × 13,3 × 15 × sin (30°) = 49,875 unidades 2
Área (ADCB) = Área (ΔADE) – Área (ΔBCE) = 300 – 49.875 = 250.125 unidad 2
Área (ADCB) = 250.125 unidad 2 .
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prachikathuria09 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA