La aritmética probablemente tiene la historia más larga durante el tiempo. Es un método de cálculo que se utiliza desde la antigüedad para cálculos normales como medidas, etiquetado y todo tipo de cálculos del día a día para obtener valores definidos. El término se originó de la palabra griega «arithmos», que simplemente significa números.
La aritmética es la rama elemental de las matemáticas que se ocupa específicamente del estudio de los números y las propiedades de las operaciones tradicionales como la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Además de las operaciones tradicionales de suma, resta, multiplicación y división, la aritmética también incluye computación avanzada de porcentaje, logaritmo, exponenciación y raíces cuadradas, etc. La aritmética es una rama de las matemáticas que se ocupa de los números y sus operaciones tradicionales.
Operaciones básicas de aritmética
La aritmética tiene cuatro operaciones básicas que se utilizan para realizar cálculos según la declaración:
- Suma
- Sustracción
- Multiplicación
- División
La progresión aritmética, (AP) es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor constante. Por ejemplo, la serie de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… están en Progresión Aritmética , que tiene una diferencia común (d) entre dos términos sucesivos (digamos 1 y 2) igual a 1 (2 – 1).
Se puede ver una diferencia común entre dos términos sucesivos, incluso para números impares y números pares, que es 2 es igual a. En AP, los tres términos principales son Diferencia común (d), Término n (a n ), Suma de los primeros n términos (S n ), Los tres términos representan las propiedades de AP. Echemos un vistazo a qué diferencia común es en detalle,
En otras palabras, la progresión aritmética se puede definir como “una sucesión matemática en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre una constante”.
Nos encontramos con las diferentes palabras como secuencia, serie y progresión en AP, ahora veamos qué define cada palabra:
La secuencia es una lista finita o infinita de números que sigue un patrón determinado. Por ejemplo 0, 1, 2, 3, 4, 5… es la secuencia, que es una secuencia infinita de números enteros.
Serie es la suma de los elementos a los que corresponde la sucesión. Por ejemplo 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. es la serie de los números naturales. Cada número en una sucesión o serie se llama término. Aquí 1 es un término, 2 es un término, 3 es un término …….
La progresión es una secuencia en la que el término general se puede expresar usando una fórmula matemática o la Secuencia que usa una fórmula matemática que se puede definir como la progresión.
La forma general de progresión aritmética es a, a + d, a + 2d ……… a + (n – 1)d
Estos son algunos ejemplos de AP:
- 6, 13, 20, 27, 34,41, . . . .
- 91, 81, 71, 61, 51, 41,. . . .
- π, 2π, 3π, 4π, 5π,6π ,…
- -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…..
Diferencia común de un AP
La diferencia común se denota por d en progresión aritmética. Es la diferencia entre el término siguiente y el anterior. Para la progresión aritmética, siempre es constante o igual. En una palabra, si la diferencia común es constante en cierta sucesión, podemos decir que esta es AP Si la sucesión es un 1, un 2 , un 3 , un 4 , y así sucesivamente.
En otras palabras, la diferencia común en la progresión aritmética se denota por d. La diferencia entre el término sucesivo y su término precedente. Siempre es constante o igual para la progresión aritmética. En otras palabras, podemos decir que, en una secuencia dada, si la diferencia común es constante o igual, entonces podemos decir que la secuencia dada está en progresión aritmética (AP).
La fórmula para encontrar la diferencia común es d = (a n + 1 – a n ) o d = (a n – a n-1 ).
Si la diferencia común es positiva, AP aumenta. Para el Ejemplo 4, 8, 12, 16….. en estas series AP aumenta
Si la diferencia común es negativa, AP disminuye. Por Ejemplo -4, -6, -8……., aquí AP disminuye.
Si la diferencia común es cero, AP será constante. Para el Ejemplo 1, 2, 3, 4, 5………, aquí AP es constante.
La secuencia de Progresión Aritmética será como un 1 , un 2 , un 3 , un 4 ,…
diferencia común (d) = a 2 – a 1 = d
un 3 – un 2 = re
a 4 – a 3 = d y así sucesivamente.
Otros términos importantes que se utilizan para explicar las propiedades de una progresión aritmética son,
Primer término de AP
La progresión aritmética se puede escribir en términos de diferencia común (d) como:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ………., a + (n – 1)d
dónde,
a = primer término de AP
n-ésimo término de AP
El término n se puede encontrar usando la fórmula que se menciona a continuación:
un norte = un + ( n – 1)d
Dónde,
a = Primer término de AP
d = diferencia común
n = número de términos
a n = n-ésimo término
Nota: el comportamiento de la secuencia se basa en el valor de una diferencia compartida.
Si “d” es positivo, los términos aumentarán a infinito positivo.
Si “d” es negativo, los términos de los miembros aumentan a infinito negativo
Suma de n términos
La fórmula para la suma de AP se explica a continuación, considere un AP que consta de «n» términos.
S = n/2 [2a + (n – 1) d]
Suma de AP cuando se da el Primer y Último Término
S = n/2 (primer término de AP + último término de AP)
En resumen, la progresión aritmética (AP) es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor constante. Por ejemplo, la serie de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
a, a + d, a + 2d, a + 3d ……….
el enésimo término a n = a + (n – 1) d
y suma de primeros n-ésimos términos = S n = n/2[2a + (n – 1) d]
= n/2[a + a n ]
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra el AP si el primer término es 15 y la diferencia común es 4.
Solución:
Como la conocemos,
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …
Aquí, a = 15 y d = 4
= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),
= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …
= 15, 19, 23, 27, 31, …y así sucesivamente.
entonces el AP es 15, 19, 23, 27, 31………..
Pregunta 2: Encuentra el vigésimo término para el AP dado: 3, 5, 7, 9, …
Solución:
Dado, 3, 5, 7, 9, 11……
aquí,
a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20
un norte = un + ( n – 1)d
20 = 3 + (20− 1) 2
20 = 3 + 38
un 20 = 41
aquí el vigésimo término es 20 = 41
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ManasChhabra2 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA