Cuboide es un objeto sólido tridimensional. También se le conoce como hexaedro regular y es uno de los cinco sólidos platónicos. Todos los bordes comparten al menos un borde común entre sí. La estructura de un paralelepípedo se puede definir en términos del hecho de que cada una de las caras está conectada con cuatro vértices y cuatro aristas, el vértice conectado con tres aristas y tres caras, y las aristas están en contacto con dos caras y dos vértices. La longitud, el ancho o la altura pueden o no ser iguales en el caso de un paralelepípedo.
Propiedades del cuboide
- Todas las caras son de naturaleza rectangular.
- Todos los ángulos son rectos
- Las caras opuestas de un paralelepípedo son iguales.
Volumen de Cuboide
El volumen de un paralelepípedo es equivalente a la cantidad de espacio ocupado dentro de la figura. El volumen de cualquier figura tridimensional depende de la longitud de las tres aristas, es decir, su longitud, anchura y altura. Se puede considerar como un rectángulo sólido. Supongamos que la altura del paralelepípedo es h, l su largo y ancho se denotan por b unidades respectivamente.
Además de esto, supongamos que V es el volumen del cuboide. Derivando su fórmula,
El volumen del paralelepípedo = Área de la base × Altura
El área de la base para el cuboide = l × b
Por eso,
Volumen de un paralelepípedo, V = Producto de los tres lados = l × b × h = lbh
Área de superficie de cuboide
Un paralelepípedo se denota por los siguientes dos tipos de áreas de superficie:
- Área de superficie total: la suma del área de cada cara. denotado por s.
Área de superficie total del cuboide, S = 2 × (lb + bh + lh)
- Área de superficie lateral: la suma del área de cada cara, excluyendo la base y la parte superior. denotado por l.
El área de superficie total y el área de superficie lateral se pueden expresar en términos de longitud (l), ancho (b) y altura del cuboide (h) como:
Área de la superficie lateral del cuboide, L = 2h (l + b)
¿Qué pasaría con el volumen y el área de superficie de un paralelepípedo si se duplican todas sus dimensiones?
Solución:
Supongamos que l, b, h son la longitud, la anchura y la altura del primer paralelepípedo, respectivamente.
Supongamos que L, B, H son la longitud, la anchura y la altura del nuevo paralelepípedo formado.
Dado que todos los lados del paralelepípedo se duplican, por lo tanto, tenemos,
Lo sabemos,
L = 2l
segundo = 2b
H = 2h
Cálculo de la superficie
Área de superficie del primer cuboide S = 2(lb + bh + hl)
Ahora,
Área de superficie del nuevo cuboide S,
= 2(LB + BH + ALTO)
= 2[(2l)(2b) + (2b)(2h) + (2h)(2l)]
= 2(4lb + 4bh + 4hl)
= 4[2(lb + bh + hl)]
= 4S
∴ El área de superficie del nuevo cuboide es 4S.
Cálculo del volumen
El volumen del paralelepípedo original está dado por V = l × b × h
Cuando su longitud se duplica, su longitud se convierte en 2 × l.
Cuando su altura es el doble, se convierte en 2 × h.
Cuando su ancho es el doble, se convierte en 2 × b.
Ahora, Volumen del nuevo cuboide = largo × ancho × alto
= 2 × largo × 2 × fondo × 2 × altura
= 8 × largo × ancho × altura
∴ Por lo tanto, el volumen del nuevo paralelepípedo es ocho veces el volumen inicial.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1. ¿Calcula el volumen de un cuboide si su longitud se duplica, la altura se duplica y el ancho es el mismo?
Solución:
Asumir que,
Longitud del cuboide = l
Altura del cuboide = h
Ancho del cuboide = b
Por lo tanto,
Volumen del cuboide = Largo × Ancho × Alto
= l × b × h
Según la pregunta
La longitud del cuboide se duplica = 2 × l = 2l
La altura del cuboide se duplica = 2 × h = 2h
El ancho sigue siendo el mismo
Más lejos,
Volumen del paralelepípedo con las nuevas dimensiones = Largo × Ancho × Alto
= 2 × largo × ancho × 2 × alto
= 4 × largo × ancho × alto
Por eso,
Podemos ver que el volumen del cuboide con el nuevo cuboide es cuatro veces el volumen del cuboide inicial.
Pregunta 2. ¿Averigüe el volumen de un cuboide si su longitud se duplica, la altura es la misma y la anchura se reduce a la mitad?
Solución:
Asumir
Longitud de un paralelepípedo = l
Ancho de un paralelepípedo = b
Altura de un paralelepípedo = h
Por lo tanto,
Volumen de un paralelepípedo = Largo × Ancho × Alto
= l × b × h
Más lejos,
La longitud del cuboide se duplica = 2 × l = 2l
El ancho del paralelepípedo se reduce a la mitad =
La altura del paralelepípedo es la misma = h
Por lo tanto,
Volumen de la nueva dimensión cuboide = Largo × Ancho × Alto
= 2 × largo ×
= l × b × h
Por eso,
Podemos ver claramente que después de duplicar la longitud, la altura es la misma y el ancho se reduce a la mitad, el volumen del cuboide sigue siendo el mismo.
Pregunta 3. Considera que el área de la superficie de una caja de zapatos paralelepipédica es de 126 cm 2 . Se sabe que la longitud del cuboide es de 6 cm y la altura del cuboide es de 3 cm. Luego encuentra el ancho de la caja de zapatos del cuboide.
Solución:
Aquí se nos da eso,
Área de superficie de la caja de zapatos paralelepipédica = 126 cm 2
Longitud de la caja de zapatos cuboide = 6 cm
Altura de la caja de zapatos cuboide = 3 cm
Suponga que el ancho de la caja de zapatos paralelepipédica = b cm
De este modo,
⇒ 126 cm 2 = 2 × {(Largo × Ancho) + (Ancho × Alto) + (Largo × Alto)}
⇒ 126 cm2 = 2 × {(6 × fondo) + (fondo × 3) + (6 × 3)}
⇒ 126 cm2 = 2 × (6b + 3b + 6×3)
⇒ 126 cm2 = 2 × (9b + 18 )
⇒ 126 cm2 = 18b + 36
⇒ 18b = 126 – 36
⇒ 18b = 90
⇒ segundo =
⇒ b = 5 cm
Por lo tanto.
El ancho de la caja de exposición paralelepipédica es de 5 cm.
Pregunta 4. ¿Qué sucederá con el área de la superficie de un paralelepípedo si se triplican el largo, el ancho y la altura de un paralelepípedo?
Solución:
Asumir
Longitud del cuboide = l
Ancho del cuboide = b
Altura del cuboide = h
Área de superficie del cuboide = 2 × {(Largo × Ancho) + (Ancho × Alto) + (Largo × Alto)}
Según la pregunta
Longitud del cuboide triplicado = 3 × longitud = 3l
Ancho del paralelepípedo triplicado = 3 × ancho = 3b
Altura del cuboide triplicado = 3 × altura = 3h
Área de superficie de un cuboide dimensional aumentado = 2 × (3l × 3b + 3b × 3h +3l × 3h)
= 9 × 2 × (lb + bh + lh)
= 9 × Área de superficie del cuboide inicial
Por lo tanto,
Podemos ver que si triplicamos todas las dimensiones del paralelepípedo, su área de superficie se vuelve 9 veces.
Pregunta 5. Si el volumen de un paralelepípedo es de 24 cm 3 . Si todas las dimensiones se duplican, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo?
Solución:
Aquí se nos da eso,
Volumen del cuboide = 24 cm 3
Según la pregunta
Si duplicamos todas las dimensiones del paralelepípedo
Después,
Volumen del paralelepípedo = 24 × 2 × 2 × 2
= 192cm2