¿Qué son los eventos mutuamente excluyentes?

La palabra probabilidad o azar se utiliza con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Por ejemplo, generalmente decimos: ‘Él puede venir hoy o ‘probablemente llueva mañana’ o ‘lo más probable es que pase el examen’. Todas estas frases involucran un elemento de incertidumbre y la probabilidad es un concepto que mide las incertidumbres. La probabilidad cuando se define de la manera más simple es la posibilidad de que ocurra un determinado evento cuando se expresa cuantitativamente, es decir, la probabilidad es una medida cuantitativa de la certeza. Probabilidad también significa posibilidad. Es una rama de las matemáticas que se ocupa de la ocurrencia de un evento aleatorio. El valor se expresa de 0 a por lo menos 1.

La probabilidad tiene su origen en los problemas de manejo de juegos de azar como apuestas, lanzamiento de monedas, lanzamiento de dados y juegos de cartas. En todos estos casos, el resultado de un juicio es incierto. En estos días, la probabilidad se usa ampliamente en los negocios y las economías en el campo de las predicciones para el futuro.

Por ejemplo, una vez que lanzamos una moneda, ya sea cara o cruz, solo son posibles dos resultados posibles (H, T). Pero si lanzamos dos monedas al aire, puede haber tres posibilidades de que ocurran eventos, como que ambas monedas muestren cara o ambas muestren cruz o una muestre cara y una cruz, es decir (H, H), (H, T) ,(T,T).

Fórmula de probabilidad

La fórmula de probabilidad se define porque la posibilidad de que ocurra una ocasión es adecuada a la relación entre el número de resultados favorables y, por lo tanto, el número total de resultados.

Probabilidad de que suceda el evento P(E) = Número de resultados favorables/Número total de resultados

Algunos términos y conceptos importantes

• Experimento aleatorio o ensayo: La realización de un experimento se denomina ensayo. Un experimento se caracteriza por la propiedad de que sus observaciones bajo un conjunto dado de circunstancias no siempre conducen al mismo resultado observado sino a resultados diferentes. Si en un experimento se conocen de antemano todos los resultados posibles y ninguno de los resultados suele predecirse con certeza, entonces dicho experimento se denomina experimento aleatorio.
• Eventos igualmente probables: se dice que los eventos son igualmente probables si no hay razón para aceptar a nadie con preferencia a los demás. Por lo tanto, los eventos igualmente probables significan que el resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir que el otro resultado.
• Eventos Simples y Compuestos: En el caso de eventos simples consideramos la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de eventos únicos y en el caso de eventos compuestos consideramos la ocurrencia conjunta de dos o más eventos.
• Eventos exhaustivos: Es el número total de todos los resultados posibles de cualquier juicio.
• Álgebra de eventos: si A y B son dos eventos asociados con el espacio muestral S, entonces
  • A ∪ B es el evento de que ocurra A o B o ambos.
  • A ∩ B es el evento de que A y B ocurren simultáneamente.
• Eventos mutuamente excluyentes: en un experimento, si la ocurrencia de una ocasión impide o descarta la ocurrencia de todos los eventos opuestos en el mismo experimento.
• Probabilidad de un evento: suponga que un evento E puede ocurrir en r formas de una suma de n formas probables o posibles igualmente probables. Entonces la probabilidad de ocurrencia del evento o su éxito se expresa como;

P(E) = r/n

La probabilidad de que el evento no ocurra o se refiere a su falla se expresa como:

P(E’) = (nr)/n = 1-(r/n)

E’ representa que el evento no ocurrirá.

Por lo tanto, ahora podemos decir;

P(E) + P(E’) = 1

Esto significa que la totalidad de todas las posibilidades en cualquier prueba o experimento aleatorio es adecuada a 1.

¿Qué son los eventos mutuamente excluyentes?

En un experimento, si la ocurrencia de una ocasión impide o descarta la ocurrencia de todos los eventos opuestos en el mismo experimento. Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en un tiempo equivalente o simultáneamente. En otras palabras, los eventos mutuamente excluyentes se denominan eventos disjuntos. Si dos eventos se consideran eventos disjuntos, entonces la probabilidad de que ambos eventos ocurran en un tiempo equivalente será cero.

Entendamos con ejemplos:

• Cuando se lanza una moneda, aparecerá cara o cruz. La cabeza y la cola no pueden aparecer simultáneamente. Por lo tanto, la ocurrencia de cara o cruz son dos eventos mutuamente excluyentes.
• En el lanzamiento de un dado las 6 caras numeradas del 1 al 6 son mutuamente excluyentes ya que si sale alguna de estas caras se descarta la posibilidad de que haya otras en el mismo intento.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Si P(A) = 0,20, P(B) = 0,35 y (P(A ∪ B)) = 0,51, ¿A y B son mutuamente excluyentes?

Responder:

Paso 1: Sumar las posibilidades de los eventos separados (A y B).

0,20 + 0,35 = 0,55

Paso 2: Comparar la respuesta con la declaración de «unión» dada (A ∪ B). Si son equivalentes, los eventos son mutuamente excluyentes. Si son diferentes, no son mutuamente excluyentes. Si son mutuamente excluyentes, entonces la unión de los dos eventos debe ser la suma de ambos, es decir, 0,20 + 0,35 = 0,55.

Por lo tanto, 0,55 no es igual a 0,51, por lo tanto, los eventos no son mutuamente excluyentes. 

Pregunta 2. Si P(A) = 0,30, P(B) = 0,55 y (P(A ∪ B)) = 0,85, ¿A y B son mutuamente excluyentes?

Responder:

Paso 1: Sumar las posibilidades de los eventos separados (A y B).

0,30 + 0,55 = 0,85

Paso 2: Comparar la respuesta con la declaración de «unión» dada (A ∪ B). Si son equivalentes, los eventos son mutuamente excluyentes. Si son diferentes, no son mutuamente excluyentes. Si son mutuamente excluyentes, entonces la unión de los dos eventos debe ser la suma de ambos, es decir, 0,30 + 0,55 = 0,85.

Por lo tanto, 0,85 es igual a 0,85, por lo tanto, los eventos son eventos mutuamente excluyentes. 

Pregunta 3. Si P(A) = 0,10, P(B) = 0,15 y (P(A ∪ B)) = 0,22, ¿A y B son mutuamente excluyentes?

Responder:

Paso 1: Sumar las posibilidades de los eventos separados (A y B).

0,10 + 0,15 = 0,25

Paso 2: Comparar la respuesta con la declaración de «unión» dada (A ∪ B). Si son equivalentes, los eventos son mutuamente excluyentes. Si son diferentes, no son mutuamente excluyentes. Si son mutuamente excluyentes, entonces la unión de los dos eventos debe ser la suma de ambos, es decir, 0,10 + 0,15 = 0,25.

Por lo tanto, 0,25 no es igual a 0,22, por lo tanto, los eventos no son mutuamente excluyentes.