¿Qué término del AP 21, 18, 15 es cero?

La progresión es una secuencia de números que se organizan en un patrón particular. Siguiendo el patrón, también se pueden determinar otros números en la secuencia.

Entendamos esto claramente con un ejemplo:
Consideremos la sucesión 1,4,9,16,25,……..
Al observar detenidamente podemos ver claramente que cada término no es más que un cuadrado de su posición índice.
1=1 ² , 4=2 ² , 9=3 ² , 16=4 ² , 25=5 ²
Por lo tanto, también podemos predecir otros términos de la sucesión dada como 36, 49, 64… y así sucesivamente.

Algunos otros ejemplos de progresión:

1,4,7,10,13,…………
5,1,-3,-7,-11,…….
5,15,45,135,405,…..

Secuencias comúnmente conocidas

Secuencia aritmética (o) Progresión aritmética
Secuencia Geométrica (o) Progresión Geométrica
Secuencia Armónica (o) Progresión Armónica
Secuencia Fibonacci

Progresión aritmética (o) Secuencia aritmética

En progresión aritmética, cada término tiene un incremento o decremento igual al término anterior. El cambio entre dos términos consecutivos es el mismo en toda la secuencia.

En general, denotamos el primer término de esta secuencia por ‘a’, y el cambio constante entre dos términos se denota por ‘d’.

‘d’ también llamada diferencia común puede ser cualquier número real.

En general, cualquier secuencia aritmética se puede representar de la forma:

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d,……………….

Ejemplo: Considere la secuencia 10, 17, 24, 31,…..

Solución:

Podemos ver que la diferencia común = 17-10 = 24-17 = 31-24 = 7
Aquí
a = 10 y
d = 7.

Algunos otros ejemplos de progresión aritmética:

2,4,6,8,10,….
10,5,0,-5,-10,…..

Algunos resultados más generalizados para una sucesión aritmética

En general, el término n ^de una progresión aritmética se denota por T _n y viene dado por la fórmula

Tn = un + ( _n -1)d

La suma de n términos de una progresión aritmética se denota por S _n y viene dada por:

S norte = _n (2a+(n-1)d)/2 o S norte =n(a+a _norte₎ /2

Nota:

En Progresión aritmética, la suma del i ^-ésimo término desde el principio y el i ^-ésimo término desde el final es constante para cualquier valor de i tal que 1<= i <=n.
Ejemplo: 2,7,12,17,22,27
En el ejemplo anterior 27+2=7+22=12+17=29
Si sumamos o restamos un número real constante de cada término de una Progresión Aritmética entonces los términos resultantes obtenidos también están en Progresión Aritmética con la misma diferencia común.
Si a,b,c están en AP entonces 2b=a+c.
Si seleccionamos términos después de intervalos iguales en una progresión aritmética, entonces el término seleccionado también forma un AP

Progresión Geométrica (o) Secuencia Geométrica

En la progresión geométrica, todos los términos se incrementan o decrementan al multiplicar o dividir un número fijo. La razón de dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es constante en todo momento. Se llama la ‘razón común’ para una Progresión Geométrica y se denota con la letra ‘r’ del alfabeto inglés.

En general, cualquier Progresión Geométrica se puede representar de la forma:

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ ,……………………

Ejemplo: Considere la secuencia 1,2,4,8,16,32,……..

Solución:

Si observas, tenemos (2/1)=(4/2)=(8/4)=(16/8)=(32/16)=2
Aquí
a=1 y
r=2

Algunos otros ejemplos de progresión aritmética:

2,1,(0.5),(0.25),(0.125),….
4,12,36,108,324…..

Algunos resultados más generalizados para una Progresión Geométrica.

En general, el término n ^de una progresión geométrica se denota por T _n y viene dado por la fórmula

T _n = ar ^(n-1)

La suma de n términos de una progresión geométrica se denota por S _n y viene dada por:

Sn= (ar ^n-1 )/(r-1) donde r ≠1

cuando r=1,

S _n simplemente se convierte en n × a.

Algunas propiedades interesantes:

Si multiplicamos o dividimos un número real constante por cada término de una Progresión Geométrica, sigue siendo una secuencia geométrica con la misma razón común.
La suma de la secuencia geométrica infinita cuando |r|<1 viene dada por

S _∞ = a/(1-r)

3. Si a, b y c están en GP entonces b ² = ac .

Progresión Armónica (o) Secuencia Armónica

En progresión armónica, cada término cuando es recíproco tiene un incremento o decremento igual al recíproco de su término precedente. El cambio entre dos términos consecutivos recíprocos cualesquiera es el mismo en toda la secuencia.

Nota : Los términos recíprocos de progresión armónica están en progresión aritmética.

En general, cualquier Progresión Armónica se puede representar de la siguiente forma:

1/a, 1/(a+d) ,1/(a+2d) ,1/(a+3d) , ……..

Ejemplo: Considere la secuencia 1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17,……..

Solución:

Podemos notar claramente que cuando intercambiamos los términos se forma una progresión aritmética

5, 8, 11, 14, 17………………..

En general, el término n ^de una progresión armónica se denota por T _n y viene dado por la fórmula

Tn = 1/(a+( _n -1)d)

Algunos otros ejemplos de progresión armónica:

1/6, 1/12, 1/18, 1/24, 1/30
1/50, 1/42, 1/34, 1/26, 1/18

Si a,b yc están en HP entonces b=(2ac)/(a+c).

Secuencia Fibonacci

Una colección de números donde cada término (después del segundo) es la suma de los dos números anteriores.

Un ejemplo simple de secuencia de Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, …………………

Entonces, cuando declaramos los dos primeros términos de la secuencia de Fibonacci, en general, el término n (F _n ) viene dado por:

Fn =Fn _–₁ +Fn _-2

Algunos otros ejemplos de la secuencia de Fibonacci:

2,2,4,6,10,16,26,……..
1,-1,0,-1,-1,-2,-3,……