Racionalización de denominadores

Muchas veces, se ha observado que tenemos algunas expresiones que tienen radicales (es decir, una expresión que usa raíces, por ejemplo, √(x + y)) en sus denominadores. Por lo tanto, realizar cálculos matemáticos simples como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones es difícil en tales expresiones. Para simplificar el problema, realizamos la racionalización. 

Como sugiere el nombre, la racionalización es un proceso para hacer que una fracción sea racional. La racionalización es un proceso mediante el cual se eliminan los radicales en el denominador de una fracción multiplicándolo por un número irracional. Este proceso hace que el denominador esté libre de radicales como la raíz cuadrada y, por lo tanto, facilita los cálculos. El número por el que se multiplica el denominador para convertirlo en racional se llama factor de racionalización. Es importante entender que la racionalización no cambia el valor de un número o función. Es una técnica para reescribir la fracción en una forma más aceptable que sea fácil de entender. Los lectores pueden usar una calculadora para confirmar que la racionalización no cambia el valor original.

Racionalizando un radical monomio

Para racionalizar un cuadrado monomio o una raíz cúbica, digamos  , donde n < m, multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo factor, digamos   , y obtenemos   cuál puede ser reemplazado por y, por lo tanto, libre de términos redicales. O dicho de otro modo, para racionalizar un monomio cuadrado o raíz cúbica, multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo factor que el denominador.

Ejemplo: Racionalicemos 1/√5

Entonces, multiplique tanto el numerador como el denominador por √5

= 1/√5 × √5/√5

= √5/5

Racionalización de un radical binomial

Si el denominador es lineal y tiene la forma a +√b o a + i√b, la racionalización consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado algebraico a – √b o a – i√b. El producto luego se expande en el denominador.

Ejemplo: Racionalicemos 1/1 +√5

Entonces, multiplique tanto el numerador como el denominador por 1 – √5

= 

= 

= 

= 

Problema de muestra

Pregunta 1. Interpreta el significado de 1/√3

Solución:

Dado que el denominador tiene raíz cuadrada en el denominador, es un poco difícil de entender.

Escribamos una expresión equivalente donde el denominador sea un número racional.

Multiplica y divide la expresión dada por √3.

Obtenemos,

1/√3 * √3/√3

= √3/3

Es fácil representarlo en una recta numérica.

1/√3 =√3/3 significa un punto que está a un tercio de distancia de 0 a √3.

Entonces, podemos interpretar el significado de 1/√3 como un punto que se encuentra a un tercio de distancia de 0 a √3.

Pregunta 2. Racionalizar el denominador (3 +√7)/√7

Solución:

Multiplica y divide la expresión dada por √7.

= (3 + √7)/√7 * (√7/√7)

= ((3 + √7).√7 )/√7.√7

= (3√7 + 7)/7

Pregunta 3. Encuentra el valor de a y b, si 1/(5 + 6√3) = a√3 + b.

Solución:

Multiplica y divide la expresión dada por 5 – 6√3 para racionalizarla.

={1/(5 + 6√3)} * {(5 – 6√3)/(5 – 6√3}

= {1 * (5 – 6√3)}/{(5 + 6√3)(5 – 6√3)}

Usando la identidad (a + b)(a – b) = a ² – b ²

= (5 – 6√3)/{5 ² – (6√3) ² }

=(5 – 6√3)/ 25 – 108

= (5 – 6√3)/ -83

= (6√3 – 5)/83

Dado que 1/(5 + 6√3) = a√3 + b 

Entonces, (6√3 – 5)/83 = a√3 + b

Significa que a = 6/83, b = -5/83

Pregunta 4. Dado que √5 = 2.236. Encuentra el valor de 3/√5 

Solución:

Multiplica y divide la expresión dada por √5 

=(3/√5) * (√5 /√5)

= 3 √5 /5

= 3/5 * √5

= 0,6 * 2,236

= 1.3416

Pregunta 5. Racionaliza el denominador de 8/(√5 – √3)

Solución:

Multiplica y divide la expresión dada por √5 + √3

= (8 * (√5 + √3))/((√5 – √3)√5 + √3))

Usando la identidad (a + b)(a – b) = a ² – b ²

= (8√5 + 8√3)/(√5 ² – √3 ² )

= 8√5 + 8√3/(5 – 3)

= 8√5 + 8√3/2

= 4√5 + 4√3