Dado un número N , la tarea es contar las combinaciones de K números del 1 al N que tienen una suma igual a N , con duplicados permitidos.
Ejemplo:
Entrada: N = 7, K = 3
Salida: 15
Explicación: Las combinaciones que conducen a la suma N = 7 son: {1, 1, 5}, {1, 5, 1}, {5, 1, 1}, {2, 1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 4, 2}, {2, 4, 1}, {4, 1, 2}, {4, 2, 1}, {3 , 1, 3}, {1, 3, 3}, {3, 3, 1}, {2, 2, 3}, {2, 3, 2}, {3, 2, 2}Entrada: N = 5, K = 5
Salida: 1
Explicación: {1, 1, 1, 1, 1} es la única combinación.
Enfoque ingenuo: este problema se puede resolver utilizando la recursividad y luego memorizando el resultado para mejorar la complejidad del tiempo. Para resolver este problema, siga los siguientes pasos:
- Cree una función, digamos countWaysUtil , que aceptará cuatro parámetros que son N , K , sum y dp . Aquí N es la suma que se requiere que tengan K elementos, K es el número de elementos consumidos, sum es la suma acumulada hasta ahora y dp es la array para memorizar el resultado. Esta función le dará la cantidad de formas de obtener la suma en K números.
- Ahora llame inicialmente a countWaysUtil con los argumentos N , K , sum=0 y dp como una array llena con todo -1 .
- En cada llamada recursiva:
- Verifique los casos base:
- Si la suma es igual a N y K se convierte en 0, entonces devuelve 1.
- Si la suma supera a N y K sigue siendo mayor que 0, devuelva 0.
- Ahora, ejecute un bucle for de 1 a N para verificar el resultado de cada resultado.
- Sume todos los resultados en una variable cnt y devuelva cnt después de memorizarlos.
- Verifique los casos base:
- Escriba la respuesta de acuerdo con la observación anterior.
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
C++
// C++ program for the above approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
int countWaysUtil(int N, int K, int sum,
vector<vector<int> >& dp)
{
// Base Cases
if (sum == N and K == 0) {
return 1;
}
if (sum >= N and K >= 0) {
return 0;
}
if (K < 0) {
return 0;
}
// If the result is already memoised
if (dp[sum][K] != -1) {
return dp[sum][K];
}
// Recursive Calls
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
cnt += countWaysUtil(
N, K - 1,
sum + i, dp);
}
// Returning answer
return dp[sum][K] = cnt;
}
void countWays(int N, int K)
{
vector<vector<int> > dp(N + 1,
vector<int>(
K + 1, -1));
cout << countWaysUtil(N, K, 0, dp);
}
// Driver Code
int main()
{
int N = 7, K = 3;
countWays(N, K);
}
Java
// Java implementation for the above approach
class GFG {
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
static int countWaysUtil(int N, int K, int sum,
int[][] dp)
{
// Base Cases
if (sum == N && K == 0) {
return 1;
}
if (sum >= N && K >= 0) {
return 0;
}
if (K < 0) {
return 0;
}
// If the result is already memoised
if (dp[sum][K] != -1) {
return dp[sum][K];
}
// Recursive Calls
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
cnt += countWaysUtil(N, K - 1, sum + i, dp);
}
// Returning answer
return dp[sum][K] = cnt;
}
static void countWays(int N, int K)
{
int[][] dp = new int[N + 1][K + 1];
for (int i = 0; i < N + 1; i++) {
for (int j = 0; j < K + 1; j++) {
dp[i][j] = -1;
}
}
System.out.print(countWaysUtil(N, K, 0, dp));
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
int N = 7, K = 3;
countWays(N, K);
}
}
// This code is contributed by ukasp.
Python3
# Python3 program for the above approach # Function to count all the possible # combinations of K numbers having # sum equals to N def countWaysUtil(N, K, sum, dp): # Base Cases if (sum == N and K == 0): return 1 if (sum >= N and K >= 0): return 0 if (K < 0): return 0 # If the result is already memoised if (dp[sum][K] != -1): return dp[sum][K] # Recursive Calls cnt = 0 for i in range(1, N+1): cnt += countWaysUtil(N, K - 1, sum + i, dp) # Returning answer dp[sum][K] = cnt return dp[sum][K] def countWays(N, K): dp = [[-1 for _ in range(K + 1)] for _ in range(N + 1)] print(countWaysUtil(N, K, 0, dp)) # Driver Code if __name__ == "__main__": N = 7 K = 3 countWays(N, K) # This code is contributed by rakeshsahni
C#
// C# implementation for the above approach
using System;
class GFG
{
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
static int countWaysUtil(int N, int K, int sum,
int [,]dp)
{
// Base Cases
if (sum == N && K == 0) {
return 1;
}
if (sum >= N && K >= 0) {
return 0;
}
if (K < 0) {
return 0;
}
// If the result is already memoised
if (dp[sum, K] != -1) {
return dp[sum, K];
}
// Recursive Calls
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
cnt += countWaysUtil(
N, K - 1,
sum + i, dp);
}
// Returning answer
return dp[sum, K] = cnt;
}
static void countWays(int N, int K)
{
int [,]dp = new int[N + 1, K + 1];
for(int i = 0; i < N + 1; i++) {
for(int j = 0; j < K + 1; j++) {
dp[i, j] = -1;
}
}
Console.Write(countWaysUtil(N, K, 0, dp));
}
// Driver Code
public static void Main()
{
int N = 7, K = 3;
countWays(N, K);
}
}
// This code is contributed by Samim Hossain Mondal.
Javascript
<script>
// Javascript program for the above approach
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
function countWaysUtil(N, K, sum, dp) {
// Base Cases
if (sum == N && K == 0) {
return 1;
}
if (sum >= N && K >= 0) {
return 0;
}
if (K < 0) {
return 0;
}
// If the result is already memoised
if (dp[sum][K] != -1) {
return dp[sum][K];
}
// Recursive Calls
let cnt = 0;
for (let i = 1; i <= N; i++) {
cnt += countWaysUtil(
N, K - 1,
sum + i, dp);
}
// Returning answer
return dp[sum][K] = cnt;
}
function countWays(N, K) {
let dp = new Array(N + 1).fill(0).map(() => new Array(K + 1).fill(-1))
document.write(countWaysUtil(N, K, 0, dp));
}
// Driver Code
let N = 7, K = 3;
countWays(N, K);
// This code is contributed by saurabh_jaiswal.
</script>
Producción
15
Complejidad de tiempo: O(N*K)
Complejidad de espacio: O(N*K)
Enfoque eficiente: este problema también se puede resolver utilizando el teorema del binomio . Como la suma requerida es N con K elementos, supongamos que los K números son:
a1 + a2 + a3 + a4 + …….. + aK = N
De acuerdo con el principio estándar de partición en el teorema del binomio, la ecuación anterior tiene una solución que es N+K-1 C K-1 , donde K>= 0 _ Pero en nuestro caso, K>=1 . Por lo tanto, N debe sustituirse por NK y la ecuación se convierte en N-1 C K-1
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
C++
// C++ program for the above approach
#include <iostream>
using namespace std;
// Method to find factorial of given number
int factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n * factorial(n - 1);
}
// Function to count all the possible
// combinations of K numbers having
// sum equals to N
int totalWays(int N, int K)
{
// If N<K
if (N < K)
return 0;
// Storing numerator
int n1 = factorial(N - 1);
// Storing denominator
int n2 = factorial(K - 1) * factorial(N - K);
int ans = (n1 / n2);
// Returning answer
return ans;
}
// Driver code
int main()
{
int N = 7;
int K = 3;
int ans = totalWays(N, K);
cout << ans;
return 0;
}
// This code is contributed by Shubham Singh
C
// C Program for the above approach
#include <stdio.h>
// method to find factorial of given number
int factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n*factorial(n - 1);
}
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
int totalWays(int N, int K) {
// If N<K
if (N < K)
return 0;
// Storing numerator
int n1 = factorial(N - 1);
// Storing denominator
int n2 = factorial(K - 1)*factorial(N - K);
int ans = (n1/n2);
// Returning answer
return ans;
}
// Driver method
int main()
{
int N = 7;
int K = 3;
int ans = totalWays(N, K);
printf("%d",ans);
return 0;
}
// This code is contributed by Shubham Singh
Java
// Java Program for the above approach
class Solution{
// method to find factorial of given number
static int factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n*factorial(n - 1);
}
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
static int totalWays(int N, int K) {
// If N<K
if (N < K)
return 0;
// Storing numerator
int n1 = factorial(N - 1);
// Storing denominator
int n2 = factorial(K - 1)*factorial(N - K);
int ans = (n1/n2);
// Returning answer
return ans;
}
// Driver method
public static void main(String[] args)
{
int N = 7;
int K = 3;
int ans = totalWays(N, K);
System.out.println(ans);
}
}
// This code is contributed by umadevi9616
Python3
# Python Program for the above approach from math import factorial class Solution: # Function to count # all the possible combinations # of K numbers having sum equals to N def totalWays(self, N, K): # If N<K if (N < K): return 0 # Storing numerator n1 = factorial(N-1) # Storing denominator n2 = factorial(K-1)*factorial(N-K) ans = (n1//n2) # Returning answer return ans # Driver Code if __name__ == '__main__': N = 7 K = 3 ob = Solution() ans = ob.totalWays(N, K) print(ans)
C#
// C# Program for the above approach
using System;
public class Solution {
// method to find factorial of given number
static int factorial(int n) {
if (n == 0)
return 1;
return n * factorial(n - 1);
}
// Function to count
// all the possible combinations
// of K numbers having sum equals to N
static int totalWays(int N, int K) {
// If N<K
if (N < K)
return 0;
// Storing numerator
int n1 = factorial(N - 1);
// Storing denominator
int n2 = factorial(K - 1) * factorial(N - K);
int ans = (n1 / n2);
// Returning answer
return ans;
}
// Driver method
public static void Main(String[] args) {
int N = 7;
int K = 3;
int ans = totalWays(N, K);
Console.WriteLine(ans);
}
}
// This code is contributed by umadevi9616
Javascript
<script>
// Javascript program for the above approach
// Method to find factorial of given number
function factorial(n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n * factorial(n - 1);
}
// Function to count all the possible
// combinations of K numbers having
// sum equals to N
function totalWays( N, K)
{
// If N<K
if (N < K)
return 0;
// Storing numerator
let n1 = factorial(N - 1);
// Storing denominator
let n2 = factorial(K - 1) * factorial(N - K);
let ans = (n1 / n2);
// Returning answer
return ans;
}
// Driver code
let N = 7;
let K = 3;
let ans = totalWays(N, K);
document.write(ans);
// This code is contributed by Shubham Singh
</script>
Producción
15
Complejidad temporal: O(N)
Espacio auxiliar: O(1)
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por harshalkhond y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA