Derivada es la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. Las derivadas tienen muchas reglas, como la regla de la potencia, la regla del cociente, la regla del producto y más. También son útiles para resolver problemas muy complicados. Los derivados y la diferenciación vienen en estudios superiores también con conceptos avanzados.
Aquí veremos qué es la regla del producto y cómo se usa con la ayuda de una fórmula.
¿Qué es la regla del producto?
Cuando se va a tomar la derivada de dos o más funciones, se aplica la regla del producto. Ayuda a diferenciar entre dos o más funciones en una función establecida.
Notación de derivadas de Leibniz
La derivada f se expresa como d/dx*f(x). Entonces, cuando la ecuación es y = f(x), la derivada se denomina dy/dx. Entonces aquí, d/dx expresa la diferenciación con respecto a x. También indica que la derivada de cualquier función dada sin usar una variable dependiente como y² se puede denotar como d/dx*y². Esta es la notación derivada más utilizada en comparación con la notación de Newton y LaGrange.
Derivación de la fórmula
Tomemos dos funciones a(x) y b(x). Entonces, la regla del Producto llega cuando multiplicas la primera función a(x) con la derivada de la segunda función b(x) más la derivada de la primera función a(x) multiplicada por la segunda función b(x). Asi que,
(ab)’ = a’b + ab’
Podemos probar la regla del producto derivado usando la definición básica de derivado. Podemos encontrar el incremento en la función ab tomando que el cambio de argumento sea Δx :
Δ(ab) = a(x + Δx)b (x + Δx) – a(x)b(x)
Tomando en consideración
a(x + Δx) = a(x) + Δa, b(x + Δx) = b(x) + Δb,
Δa y Δb son los incrementos en la función a y b. Despreciando la brevedad del argumento de x de la función b y a, podemos escribir el incremento Δ(ab) en la forma:
Δ(ab) = (a + Δa)(b + Δb) – ab =
ab+ aΔb + bΔa + ΔaΔb –ab= a∆b + b∆a + ∆a∆b.
Usando propiedades de límite podemos encontrar la derivada del producto
(ab)` = límΔx→0 Δ(ab)/Δx
= límΔx→0 (aΔb + bΔa + ΔbΔa)/Δx
= limΔx→0 aΔb /Δx + limΔx→0 bΔa/Δx + limΔx→0 Δa/Δx . límΔx→0 Δb.
La función a no depende del aumento de Δx. Por lo tanto, se toma fuera de la señal de límite. Lo mismo se aplica a la b. podemos calcular el límite limΔx→0 Δb por separado
limΔx→0 Δb = limΔx→0 {(Δb/Δx) . Δx }
= límΔx→0 ( Δb )/Δx. límΔx→0 Δx
= b`.0 = 0.
Por lo tanto, la derivada del producto viene dada por:
(ab)′ = limΔx→0 aΔb /Δx + limΔx→0 ( bΔa )/Δx + limΔx→0 Δa/Δx ⋅ limΔx→0 Δb
= a limΔx→0 Δb /Δx + b limΔx→0 Δa/Δx + limΔx→0 Δa/Δx⋅ limΔx→0 Δb
= ab′ + ba′ + a′⋅0 = a′b + ab′.
De la fórmula anterior, se puede concluir fácilmente que la derivación de zf(x), donde z es una constante:
(zf(x))’= z’ f(x) + zf'(x) = 0.f(x) + zf'(x) = zf'(x)
Derivación de productos de dos funciones
Aquí tomaremos un ejemplo para entender cómo se aplica la regla del producto para derivar el producto de dos funciones.
Derivada de (x 2 + x)(3x + 5) = ?
Solución:
Ahora usando la fórmula de la regla del producto, f′(x) = X(x)* Y′(x) + Y(x)* X′(x), pondremos los valores requeridos.
Aquí, nuestra primera función X sería (x 2 + x) mientras que la segunda función Y sería (3x + 5)
Entonces, multiplique la derivada de la primera función por la segunda derivada y súmela a la derivada de la primera sección multiplicada por la segunda función.
Eso se vería como
(x2 + x)'(3x + 5) + (x2 + x)(3x + 5)’,
= (2x + 1)(3x + 5) + (x2 + x)(3),
Ahora multiplica todo
=6x 2 + 10x + 3x + 5 + 3x 2 + 3x
Entonces, ahora el resultado final es
=9x 2 + 16x + 5
A veces los estudiantes se confunden al calcular la regla del producto. Lo malinterpretan calculando el producto de las derivadas. Pero así la respuesta no sería correcta. Déjanos hacerte entender con el mismo ejemplo.
Supongamos que calcula el producto de las derivadas de la función dada
d/dx(x 2 + x) * (3x + 5),
= d/dx (x 2 + x) d/dx(3x + 5)
= (2x + 1) * (3)
= 6x + 3
Así que aquí la respuesta es 6x + 3 que no es lo mismo que 9x 2 + 16x + 5
Ejemplos de problemas sobre la regla del producto
Problema 1: Sea y = cos 2 x. Diferencie esta función usando la regla del producto.
Solución:
Podemos representar la función como
y(x) = cosxcosx .
Usando la regla del producto,
y′(x)= (cosx cosx)′ = (cosx)′cosx + cosx(cosx)′.
Como (cosx)′ = -senx, obtenemos
y′(x) = -senxcosx + cosx(-senx) = -2senxcosx = -sen2x
Problema 2: Encuentra la derivada de la función y = e x senx
Solución:
Aplicando la regla del producto
y′(x) = (e x senx)′ = (e x )′senx + e x (senx)′
= e x senx + e x (cosx)
= e x (senx + cosx).
Problema 3: Encuentra la derivada de la función y = xsenx.
Solución:
Por la regla del producto obtenemos:
y′(x) = (x senx)′ = (x)′senx + x (senx)′
= senx + x cosx
Problema 4: Encuentra la derivada de la función y = x(1 + x).
Solución:
Aplicando la regla del producto:
y'(x) = {x(1 + x)}’ = x'(1 + x) + x(1 + x)’
= (1 + x) + x(0 + 1)
= 1 + 2x
Aplicaciones en el mundo real
Las derivadas y la diferenciación ayudan a resolver muchos problemas de la vida real y brindan soluciones fáciles. Para alcanzar valores máximos y mínimos de ganancia, pérdida, población, costo de material, etc. se puede determinar con la fórmula de la regla del producto.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por amansinghal2002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA