Razones trigonométricas de algunos ángulos específicos

La trigonometría tiene que ver con los triángulos o, para ser más precisos, la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo (triángulo rectángulo). En este artículo, discutiremos la razón de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a su ángulo agudo llamado razones trigonométricas del ángulo y encontraremos las razones trigonométricas de ángulos específicos: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
Considere el siguiente triángulo,
  

El lado BA es opuesto al ángulo ∠BCA por lo que llamamos BA el lado opuesto a ∠C y AC es la hipotenusa; el otro lado BC es el lado adyacente a ∠C.

Relaciones trigonométricas del ángulo C

Seno: El seno de ∠C es la razón del lado opuesto a C (BA) a la hipotenusa (AC).

sin\, C = \frac{BA}{AC}      

Coseno: El coseno de ∠C es la razón del lado adyacente a C (BC) y la hipotenusa (AC).

cos\, C = \frac{BC}{AC}      

Tangente: La tangente de ∠C es la razón entre el lado opuesto (BA) y el adyacente a C (BC). 

tan\, C = \frac{BA}{BC}      

Cosecante: La cosecante de ∠C es el recíproco del sen C por lo tanto es la razón de la hipotenusa (AC) al lado opuesto a C (BA). 

cosec\, C = \frac{AC}{BA}      

Secante: La secante de ∠C es el recíproco de cos C por lo tanto es la relación de la hipotenusa (AC) al lado adyacente a C (BC). 

sec\, C = \frac{AC}{BC}      

Cotangente: La cotangente de ∠C es el recíproco de tan C que es la razón del lado adyacente a C (BC) al lado opuesto a C (BA). 

cot\, C = \frac{BC}{BA}

Encontrar razones trigonométricas para ángulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 

Considerando la longitud de la hipotenusa AC = a, BC = by, BA = c.

A. Para ángulos de 0° y 90°

Si el ángulo A = 0°, la longitud del lado opuesto sería cero y la hipotenusa = lado adyacente, y si A = 90°, la hipotenusa = lado opuesto. Entonces, con la ayuda de las fórmulas anteriores para las razones trigonométricas obtenemos: 

si A = 0°   \\ sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} = 0 \\\quad\\ cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{a} =1 \\\quad\\ tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{a} = 0 \\\quad\\ cosec A = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b} = not\, defined \\\quad\\ sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{c}= 1 \\\quad\\ cot A = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{b}= not\, defined \\\quad\\

si A = 90°   \\ sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} = 1 \\\quad\\ cos A = \frac{BA}{AC} = \frac{c}{a} = 0 \\\quad\\ tan A = \frac{BC}{BA} = \frac{b}{c} = not\, defined \\\quad\\ cosec A = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}= 1 \\\quad\\ sec A = \frac{AC}{BA} = \frac{a}{c}= not\, defined \\\quad\\ cot A = \frac{BA}{BC} = 0

Aquí, algunas de las razones trigonométricas resultan como no definidas , ya que en el ángulo particular se divide por 0, que no está definido.

B. Para ángulos de 30° y 60°

Considere un triángulo equilátero ABC. Dado que cada ángulo en un triángulo equilátero es de 60°, por lo tanto,

∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∆ABD es un triángulo rectángulo, rectángulo en D con ∠BAD = 30° y ∠ABD = 60°, 

Aquí ∆ADB y ∆ADC son similares ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT) .

In\, \Delta ABD\;,AB=a\,,BD=\frac{a}{2} \\and\,AB^2=BD^2+AD^2\\ \quad\\\implies AD^2=AB^2-BD^2 \\ \quad\\\implies AD^2=a^2-(\frac{a}{2})^2\\ \quad\\ \implies AD^2=a^2-\frac{a^2}{4} \\ \quad\\ \implies AD^2=\frac{3a^2}{4} \\\quad\\ \implies AD= \frac{\sqrt{3} a}{2}

Ahora que conocemos los valores de AB, BD y AD, entonces las razones trigonométricas para el ángulo de 30° son,

sin\ 30=\frac{BD}{AB}= \frac{a/2}{a}=\frac{1}{2} \\ \quad\\cos\ 30=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a} =\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad\\tan\ 30=\frac{BD}{AD}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\quad\\cosec\ 30=\frac{AB}{BD}=\frac{a}{a/2}=2 \\\quad\\sec\ 30=\frac{AB}{AD}=\frac{a}{\sqrt{3}a/2} =\frac{2}{\sqrt{3}}  \\\quad\\cot\ 30=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a/2}= \sqrt{3}

Para ángulo 60°

sin\ 60=\frac{AD}{AB}= \frac{\sqrt{3}a/2}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad\\cos\ 60=\frac{BD}{AB}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2} \\\quad\\tan\ 60=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a/2}=\sqrt{3} \\\quad\\cosec\ 60=\frac{AB}{AD}=\frac{a}{\sqrt{3}a/2}=\frac{2}{\sqrt{3}} \\\quad\\sec=\frac{AB}{BD}=\frac{a}{a/2}=2 \\\quad\\cot\ 60=\frac{BD}{AD}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}

C. Para ángulo 45°

En un triángulo rectángulo, si un ángulo mide 45°, entonces el otro ángulo también mide 45°, lo que lo convierte en un triángulo rectángulo isósceles.

Si la longitud del lado BC = a entonces la longitud de AB = a y la longitud de AC(hipotenusa) es a√2 usando el Teorema de Pitágoras , entonces

sin\ A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}\\ \quad\\ cos\ A = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}\\ \quad\\ tan\ A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a} = 1\\ \quad\\ cosec\ A = \frac{1}{sin\ A}= \sqrt2\\ \quad\\ sec\ A = \frac{1}{cos\ A} = \sqrt2\\ \quad\\ cot\ A = \frac{1}{tan\ A} = 1\\

Todos los valores

        ∠A          0°         30°         45°         60°         90°
        pecado A                   0         1/2         1/√2         √3/2         1
        porque A         1         √3/2                 1/√2                 1/2                 0
        bronceado A         0         1/√3         1         √3 No definida
        cosec A  No definida         2         √2         2/√3         1
        segundo A         1         2/√3         √2         2 No definida
        cuna A No definida         √3         1         1/√3         0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por somsagar2019 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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