Estamos bastante familiarizados con los números complejos, conocemos los números que son de la forma (x + iy) donde x & y son números reales e i (iota) es la unidad imaginaria. Hasta ahora hemos discutido principalmente los números complejos de la forma (x + iy), esto se llama la forma algebraica o forma geométrica de un número complejo que se usa más comúnmente, pero también hay otras formas de un número complejo. Y vamos a cubrir otra forma importante de números complejos que es la forma polar o la forma trigonométrica .
Forma geométrica o algebraica de un número complejo
El número complejo z = (x + iy) está representado por un punto P (x, y) en el plano de Argand, y cada punto en el plano de Argand/Complejo representa un único número complejo. Si un número complejo es puramente real entonces su parte imaginaria Im(z) = 0 y se encuentra exactamente en el eje real (eje X), mientras que un número complejo puramente imaginario tiene su parte real Re(z) =0 y se encuentra exactamente en el eje imaginario (eje Y).
Nota: si un punto P (x, y) representa un número complejo z en el plano de Argand, entonces el número complejo Z = (x + iy) se conoce como el afijo del punto P.
Representación geométrica de (z) en el plano de Argand
En la representación anterior de la longitud del número complejo del segmento de línea, OP es igual al módulo del número complejo y el ángulo θ es el ángulo formado por OP en el sentido contrario a las agujas del reloj con el sentido positivo del eje X conocido como el amplitud o argumento del número complejo denotado por amp(z) o arg(z).
De la figura anterior, θ se puede calcular de la siguiente manera
tan(θ) = y / x
tan(θ) = |Im(z) / Re(z)|
θ = bronceado -1 {|Im(z) / Re(z)|}
Nota: El ángulo θ puede tener infinitos valores en el múltiplo de 2π. Pero el valor único de θ que se encuentra en el rango (-π ≤ θ ≤ π) se denomina argumento principal o valor principal de la amplitud. El punto a recordar es que el valor del argumento principal de un número complejo (z) depende de la posición del número complejo (z), es decir, el cuadrante en el que se encuentra el punto P que representa el número complejo (z).
Analicemos los diferentes casos para averiguar el valor del argumento principal. Sea α el ángulo agudo subtendido por OP con el eje X y θ el argumento principal del número complejo (z).
Caso 1. Cuando el número complejo z = (x + iy) se encuentra en el primer cuadrante, es decir, x > 0 & y > 0, entonces el valor del argumento principal (θ = α).
Z = (x + iy) en el 1er cuadrante
Caso 2. Cuando el número complejo z = (x + iy) se encuentra en el segundo cuadrante, es decir, x < 0 & y > 0, entonces el valor del argumento principal (θ = π – α).
Z = (x + iy) en el segundo cuadrante
Caso 3. Cuando el número complejo z = (x + iy) se encuentra en el tercer cuadrante, es decir, x < 0 & y < 0, entonces el valor del argumento principal (θ = α – π).
Z = (x + iy) en el 3er cuadrante
Caso 4. Cuando el número complejo z = (x + iy) se encuentra en el cuarto cuadrante, es decir, x > 0 & y < 0, entonces el valor del argumento principal (θ = -α).
Z = (x + iy) en el 4º cuadrante
Forma polar o trigonométrica de un número complejo
Hemos visto la forma geométrica de un número complejo (z) en el que está representado por (x, y) en el plano de Argand, OP = |z| y arg(z) = θ. Ahora usaremos la forma geométrica de un número complejo para obtener su forma polar. En la forma polar o trigonométrica, el número complejo (z) está representado por (r, θ) . donde r = |z| & θ = arg(z).
La forma polar de z (r, θ)
De la figura anterior, podemos encontrar OM = x = |z| cos θ y MP = y = |z| sen θ ;
Ahora ponga los valores de x & y en z = (x + iy) y obtenemos z = |z| cos θ + i |z| sen θ
Tomando |z| común, z = |z| (cos θ + i sen θ)
Y poniendo |z| = r;
La forma polar de un número complejo (z) viene dada por
z = r (cos θ + i sen θ) ;
Si tomamos el valor general del argumento arg(z) = 2n π + θ, entonces la forma polar de z viene dada por
z = r [cos (2n π + θ) + i sin (2n π + θ)] ; donde n es un número entero.
Como tenemos θ en la expresión de la forma polar de z, habrá cuatro casos diferentes dependiendo de los valores del argumento principal θ en los cuatro cuadrantes. Discutámoslos usando los resultados obtenidos arriba para el argumento principal θ.
- Caso 1. Cuando el número complejo z se encuentra en el primer cuadrante entonces el valor del argumento principal (θ = α). Entonces, la forma polar de z = r (cos α + i sin α).
- Caso 2. Cuando el número complejo z se encuentra en el segundo cuadrante entonces el valor del argumento principal (θ = π – α). Entonces, la forma polar de z = r [cos (π – α) + i sin (π – α)] o z = r (-cos α + i sin α)
- Caso 3. Cuando el número complejo z se encuentra en el tercer cuadrante entonces el valor del argumento principal (θ = α – π). Entonces, la forma polar de z = r [cos (α – π) + i sin (α – π)] o z = r (-cos α – i sin α)
- Caso 4. Cuando el número complejo z se encuentra en el cuarto cuadrante entonces el valor del argumento principal (θ = -α). Entonces, la forma polar de z = r [cos (-α) + i sin (-α)] o z = r (cos α – i sin α).
Como hemos discutido las formas de los números complejos y también hemos entendido que la forma polar de un número complejo z (r, θ) se puede obtener fácilmente a partir de su forma geométrica/algebraica z (x, y); Veamos un problema de muestra sobre la conversión del número complejo en la forma algebraica a la forma polar.
Ejemplos
Ejemplo 1: si (z = -i) o (z = 0 – i) es un número complejo en forma algebraica, entonces su representación en forma polar viene dada por
Solución:
Como z = (0 – i) ≈ P (0, -1), se encuentra en el eje Y (θ = -α)
α = tan-1(Im(z) / Re(z))
α = bronceado-1(|(-1) / 0|) = bronceado -1 (|-∞|) = π / 2
θ = -α = -(π / 2)
r = |z| = √(0 2 + 1 2 ) = 1
z = r (cos θ + i sen θ)
z = 1 [cos(π / 2) – i sin(π / 2)]
Ejemplo 2: Si z = (1 + i) es un número complejo en forma algebraica, entonces su representación en forma polar viene dada por
Solución:
Como z = (1 + i) ≈ P (1, 1), se encuentra en el primer cuadrante entonces (θ = α)
α = tan -1 (Im(z) / Re(z))
α = bronceado -1 (1) = π / 4
θ = α = π / 4
r = |z| = √(1 2 + 1 2 ) = √2
z = r (cos θ + i sen θ)
z = √2 [cos(π / 4) + i sin(π / 4)]
Ejemplo 3: Si z = (-1 – √3 i) es un número complejo en forma algebraica, entonces su representación en forma polar viene dada por
Solución:
Como z = (-1 – √3 i) ≈ P (-1, -√3), se encuentra en el tercer cuadrante entonces (θ = α – π)
α = tan-1(Im(z) / Re(z))
α = tan-1(|-√3 /(-1)|) = tan-1(√3) = π / 3
θ = (α – π)
θ = (π / 3) – π = – (2 π) / 3
r = |z| = √((-1) 2 + (-√3) 2 ) = √4 = 2
z = r (cos θ + i sen θ)
z = 2 [cos(-(2π) / 3) + yo sin((-2π) / 3)]
z = 2 [cos(2π / 3) – i sin(2π / 3)] o
z = 2 [- cos(π / 3) – i sin(π / 3)]