Resolver problemas verbales de desigualdades lineales

Conocemos bien las ecuaciones de múltiples variables. Las ecuaciones lineales representan un punto en una sola dimensión, una línea en dos dimensiones y un plano en un mundo tridimensional. Las soluciones a las desigualdades lineales representan una región del plano cartesiano. Se vuelve esencial para nosotros saber cómo traducir los problemas de la vida real en desigualdades lineales. 

Desigualdades Lineales 

Antes de definir formalmente las desigualdades lineales, veámoslas a través de una situación de la vida real y observemos por qué surge su necesidad en primer lugar. Digamos que Albert fue a comprar algunas novelas para él en la feria del libro. Tiene un total de Rs 200 con él. La feria del libro tiene una política de venta especial que ofrece cualquier libro a Rs 70. Ahora él sabe que es posible que no pueda gastar el monto total en los libros. Digamos que x es el número de libros que compró. Esta situación se puede representar matemáticamente mediante la siguiente ecuación, 

70x <200

Dado que no puede gastar todo el monto en libros, y además, el monto gastado por él siempre será inferior a 200 rupias. La situación actual solo puede representarse mediante la ecuación dada anteriormente. Ahora estudiemos las desigualdades lineales con una descripción formal, 

Dos números reales o dos expresiones algebraicas que están relacionadas por símbolos como ‘>’, ‘<‘, ‘≥’ y ‘≤’ forman las desigualdades. Las desigualdades lineales están formadas por ecuaciones lineales que están conectadas con estos símbolos. Estas desigualdades se pueden clasificar en dos partes: 

1. Desigualdades Estrictas: Las desigualdades con los símbolos como ‘>’ o ‘<‘.
2. Desigualdades de Slack: Las desigualdades con los símbolos como ‘≥’ o ‘≤’.

Reglas para resolver desigualdades lineales:

Hay ciertas reglas que debemos tener en cuenta al resolver desigualdades lineales. 

1. Se pueden sumar o restar números iguales de ambos lados de la desigualdad sin afectar su signo.
2. Ambos lados de la desigualdad se pueden dividir o multiplicar por cualquier número positivo, pero cuando se multiplican o dividen por un número negativo, el signo de la desigualdad lineal se invierte.

Ahora, con esta breve introducción a las desigualdades lineales, veamos algunos problemas verbales sobre este concepto. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Considerando el problema planteado al principio. Albert fue a comprar algunas novelas para él en la feria del libro. Tiene un total de Rs 200 con él. La feria del libro tiene una política de venta especial que ofrece cualquier libro a Rs 70. Ahora él sabe que es posible que no pueda gastar el monto total en los libros. Digamos que x es el número de libros que compró. Representa esta situación matemática y gráficamente. 

Solución: 

Sabemos que Albert no puede comprar libros con todo el dinero que tiene. Entonces, digamos que la cantidad de libros que compra es «x». Después, 

70x <200

⇒ x < 

Para trazar la gráfica de esta desigualdad, pon x = 0. 

0 <   Por lo tanto, x = 0 satisface la desigualdad. Entonces, el gráfico de la siguiente desigualdad se verá así, 

Pregunta 2: Considere el desempeño de los delanteros del club de fútbol Real Madrid en los últimos 3 partidos. Ronaldo y Benzema juntos marcaron menos de 9 goles en los últimos tres partidos. También se sabe que Ronaldo marcó tres goles más que Benzema. ¿Cuál puede ser el número posible de goles que anotó Ronaldo? 

Solución: 

Digamos que el número de goles marcados por Benzema y Ronaldo son y y x respectivamente. 

x = y + 3 …..(1)

x + y < 9 …..(2) 

Sustituyendo el valor de x de la ecuación (1) en la ecuación (2). 

y + 3 + y < 9 

⇒2y < 6 

⇒ y < 3

Posibles valores de y: 0,1,2 

Posibles valores de x: 3,4,5

Pregunta 3: En un salón de clases caben al menos 9 mesas con un área de un metro cuadrado. Sabemos que el perímetro del salón de clases es de 12m. Encuentre los límites a lo largo y ancho del salón de clases. 

Solución: 

Puede acomodar 9 mesas, eso significa que el área del aula es de al menos 9m ² . Digamos que el largo del salón de clases es x y el ancho es y metros. 

2(x + y) = 12 {Perímetro del aula}

⇒ x + y = 6 

El área del rectángulo está dada por, 

xy > 9 

⇒x(6 – x) > 9 

⇒6x – x2 >  ⁹

⇒ 0 > x2 ^– 6x + 9 

⇒ 0 > (x – 3) ²

⇒ 0 > x – 3 

⇒ x < 3 

Así, la longitud del aula debe ser inferior a 3 m. 

Entonces, el ancho del aula será mayor a 3 m. 

Pregunta 4: Formule la desigualdad lineal para la siguiente situación y trace su gráfica. 

Digamos que Aman y Akhil fueron a una papelería. Aman compró 3 cuadernos y Akhil compró 4 libros. Digamos que el costo de cada cuaderno fue «x» y cada libro fue «y». El gasto total fue inferior a 500 rupias. 

Solución: 

El costo de cada cuaderno fue “x” y por cada libro, fue “y”. Entonces la desigualdad se puede describir como,

3x + 4y < 500

Poniendo (x,y) → (0,0) 

3(0) + 4(0) < 500

El origen satisface la desigualdad. Por lo tanto, la gráfica de sus soluciones se verá como, x.

Pregunta 5: Formule la desigualdad lineal para la siguiente situación y trace su gráfica. 

Una tienda de música vende sus guitarras a cinco veces su precio de costo. Encuentre el precio de costo mínimo del comerciante si su ganancia es mayor a Rs 3000. 

Solución: 

Digamos que el precio de venta de la guitarra es y, y el precio de costo es x.

y – x > 3000 ….(1)

También se da que, 

y = 5x ….(2) 

Sustituyendo el valor de y de la ecuación (2) a la ecuación (1). 

5x – x > 3000 

⇒ 4x > 3000 

⇒ x > 

⇒ x > 750 

Por lo tanto, el precio de costo debe ser superior a Rs 750. 

Pregunta 6: El largo del rectángulo es 4 veces su ancho. El perímetro del rectángulo es menor que 20. Formule una desigualdad lineal en dos variables para la situación dada, trace su gráfico y calcule los límites tanto para el largo como para el ancho. 

Solución: 

Digamos que la longitud es «x» y la anchura es «y». 

Perímetro = 2(x + y) < 20 ….(1)

⇒ x + y < 10 

Dado: x = 4y 

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (1). 

x + y < 10

⇒ 5 años < 10 

⇒ y < 2

Entonces, x < 8 y y < 2. 

Pregunta 7: Rahul y Rinkesh juegan en el mismo equipo de fútbol. En el juego anterior, Rahul anotó 2 goles más que Rinkesh, pero juntos anotaron menos de 8 goles. Resuelve la desigualdad lineal y grafica esto en un gráfico.

Solución:

Las ecuaciones obtenidas a partir de la información dada en la pregunta,

Supongamos que Rahul anotó x Número de goles y Rinkesh anotó y número de goles,

Las ecuaciones obtenidas serán, x = y+2 ⇢ (1)

x+y< 8 ⇢ (2)

Resolviendo ambas ecuaciones,

y+2 + y < 8

2 años < 6

y < 3

Poniendo este valor en la ecuación (2),

x < 5

Pregunta 8: En una clase de 100 alumnos, hay más niñas que niños, ¿Se puede concluir que cuántas niñas habría?

Solución:

Supongamos que B se denota por niños y G se denota por niñas.

Ahora, dado que las niñas presentes en la clase son más que los niños, se puede escribir en forma de ecuación como,

G > B 

El número total de estudiantes presentes en clase es 100 (dado),

Se puede escribir como, G+ B= 100

B = 100-G

Sustituye G > B en la ecuación formada,

G > 100 – G

2G > 100

G> 50

De ahí que se fije que el número de chicas tiene que ser mayor de 50 en clase, puede ser 60, 65, etc. Básicamente cualquier número mayor de 50 y menor de 100.

Pregunta 9: En la pregunta anterior, ¿es posible que el número de niñas sea exactamente 50 o exactamente 100? Si no, ¿por qué?

Responder:

No, no es posible que el Número de chicas sea exactamente 50 ya que al resolver se obtuvo que, G > 50 

En cualquier caso si G= 50 es una posibilidad, de la ecuación G+ B= 100 se obtendrá B = 50.

Esto simplemente significa que el número de niños es igual al número de niñas, lo que contradice lo que se da en la pregunta.

No, no es posible que G sea exactamente 100 también, ya que esto prueba que hay 0 niños en la clase.

Pregunta 10: Resuelva la desigualdad lineal y trace la gráfica para la misma,

7x+ 8y < 30

x= y/2

Solución:

La desigualdad lineal se da como, 7x+ 8y< 30 

En x= 0, y= 30/8= 3,75

En y= 0, x= 30/7= 4.28

Estos valores son las intersecciones.

El gráfico de lo anterior se verá así, 

Poniendo x= y/2, es decir, y= 2x en la desigualdad lineal,

7x + 16x < 30

x = 1.304

y = 2.609