El álgebra es una ciencia matemática que estudia diversos símbolos que representan cantidades que no tienen un valor fijo o una cantidad asociada con ellas, sino que varían o cambian con el tiempo en relación con alguna otra característica. En álgebra, tales símbolos se conocen como variables y los números asociados con ellos se conocen como coeficientes. Se pueden expresar de varias maneras, incluidos los alfabetos ingleses. En otros términos, el álgebra es el estudio de cómo se representan los números usando letras o símbolos sin resaltar sus verdaderos significados.
Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es un enunciado algebraico de segundo grado en x. La ecuación cuadrática se escribe como ax 2 + bx + c = 0, siendo a y b los coeficientes, siendo x la variable y c el factor constante. El coeficiente de x 2 no debe ser cero (a ≠ 0) para que una ecuación se clasifique como ecuación cuadrática. El término x 2 viene primero, seguido del término x y finalmente el término constante al escribir una ecuación cuadrática en forma estándar. Los valores integrales, en lugar de fracciones o decimales, se utilizan normalmente para indicar los valores numéricos a, b y c.
Completando el método cuadrado
Un método o enfoque para convertir un polinomio cuadrático o una ecuación en un cuadrado perfecto con una constante adicional se llama completar el método del cuadrado. Utilizando la fórmula o criterio del cuadrado completo, la ecuación cuadrática en la variable x, ax 2 + bx + c, donde a, b y c son los valores reales excepto a = 0, se puede transformar o convertir a una perfecta cuadrado con una constante adicional.
La fórmula de completar el cuadrado está dada por,
hacha 2 + bx + c ⇒ a(x + m) 2 + n
Dónde,
m = b/2a,
n = c – (b 2 /4a)
Aquí, m puede ser cualquier número real y n es una constante.
Derivación:
Suponga que la ecuación cuadrática dada es ax 2 + bx + c. Se puede escribir como,
hacha 2 + bx + c = a (x 2 + (b/a)x) + c
= a (x 2 + 2 (bx/2a) + (b/2a) 2 – (b/2a) 2 ) + c
= a (x 2 + 2 (bx/2a) + (b/2a) 2 – b 2 /4a 2 ) + c
= a (x 2 + 2 (bx/2a) + (b/2a) 2 ) + (c – b 2 /4a)
Usando la propiedad (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab obtenemos,
= a (x + b/2a) 2 + (c – b 2 /4a)
Reemplazando b/2a por un número real m y (c – b 2 /4a) por un valor constante obtenemos,
= a(x + m) 2 + n
Esto deriva la fórmula para completar el método del cuadrado.
Ejemplos de problemas
Pregunta 1: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 4x – 21 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 4 y c = –21.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 4/2 = 2
n = –21 – (16/4) = –21 – 4 = –25
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 2) 2 – 25 = 0
x + 2 = ±5
x = 3, –7
Pregunta 2: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 10x + 21 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 10 y c = 21.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 10/2 = 5
n = 21 – (100/4) = 21 – 25 = –4
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 5) 2 – 4 = 0
x + 5 = ±2
x = -3, -7
Pregunta 3: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 6x – 27 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 6 y c = –27.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 6/2 = 3
n = –27 – (36/4) = –27 – 9 = –36
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 3) 2 – 36 = 0
x + 3 = ±6
x = 3, –9
Pregunta 4: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 12x – 13 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 12 y c = –13.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 12/2 = 6
n = –13 – (144/4) = –13 – 36 = –49
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 6) 2 – 49 = 0
x + 6 = ±7
x = 1, –13
Pregunta 5: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 20x + 19 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 20 y c = 19.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 20/2 = 10
n = 19 – (400/4) = 19 – 100 = –81
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 10) 2 – 81 = 0
x + 10 = ±9
x = –1, –19
Pregunta 6: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 + 6x – 16 = 0.
Solución:
Tenemos, a = 1, b = 6 y c = –16.
Encuentre el valor de m y n.
metro = 6/2 = 3
n = –16 – (36/4) = –16 – 9 = –25
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x + 3) 2 – 25 = 0
x + 3 = ±5
x = 2, –8
Pregunta 7: Usa el método de completar el cuadrado para resolver: x 2 – 4x – 12 = 0.
Tenemos, a = 1, b = –4 y c = –12.
Encuentre el valor de m y n.
m = –4/2 = –2
n = –12 – (16/4) = –12 – 4 = –16
Entonces, la ecuación se resuelve como,
(x-2) 2-16 = 0
x – 2 = ±4
x = 6, –2