Rompecabezas 16 | (100 Puertas)

Hay 100 puertas seguidas, todas las puertas están inicialmente cerradas. Una persona atraviesa todas las puertas varias veces y las alterna (si está abierta, luego ciérrela, si está cerrada, luego ábrala) de la siguiente manera: 

En la primera caminata, la persona alterna todas las puertas. 

En la segunda caminata, la persona alterna cada dos puertas, es decir, ^{2ª ,} 4ª ^{, 6ª} , ^8ª , … 

^{En el tercer recorrido, la} persona alterna cada tercera puerta, es decir, ^3ª , ^6ª , 9ª ,… 

Igualmente,

En la caminata número 100 ^, la persona cambia la puerta  ^{número 100.}

¿Qué puertas están abiertas al final? 

Solución: 
Una puerta se alterna en un camino i ^{-ésimo si divido el número de puerta.} Por ejemplo, la puerta número 45 se alterna en las ^{caminatas 1} , 3 , ⁵ , ⁹ , ¹⁵ y ⁴⁵ . La puerta vuelve a una etapa inicial para cada par de divisores. Por ejemplo, 45 se alterna 6 veces para 3 pares (5, 9), (15, 3) y (1, 45). 

Parece que todas las puertas se cerrarían al final. Pero hay números de puerta que se abrirían, por ejemplo, en 16, los divisores son (1,2,4,8,16) y como el par (4,4) aporta solo un divisor haciendo que el número de divisores sea impar, se abriría al final. De manera similar, todos los demás cuadrados perfectos como 4, 9,… y 100 se abrirían. Ahora bien, para números primos como 2,3,5,7… los divisores son (1, ese número) y es un par, por lo que al final quedarán cerrados. Y para todos los demás números, los divisores siempre están en pares, por ejemplo, 15 = (1,15), (3,5), también permanecerán cerrados.

Entonces la respuesta es 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. 

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