Serie aritmética

Una lista ordenada de números se llama secuencias. Cada número es la secuencia se llama un término. La sucesión suele tener patrones que nos permiten predecir cuál será el próximo término de la sucesión. Una serie aritmética es la suma de una secuencia en la que cada término se calcula a partir del anterior sumando y restando una constante. O podemos decir que una progresión aritmética se puede definir como una secuencia de números en la que para cada par de términos consecutivos, el segundo número se encuentra sumando un número constante al anterior. 
En Serie Aritmética/Progresión nos encontramos con tres términos que son: 

  • Diferencia común (d)
  • n- ésimo término(a n )
  • Suma de los primeros n términos (S n )

Aquí, los tres términos anteriores representan la propiedad de la progresión aritmética. 
Para encontrar la diferencia común de la progresión aritmética se sigue el siguiente procedimiento: 

 re = un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3 ….. = un norte -un n-1

Donde, a 1 , a 2 , a 3 ….a n  son los términos de la serie y “d” es la diferencia común que puede ser positiva, negativa o cero. 

Además, una progresión aritmética también se puede escribir en forma de diferencia común como se muestra a continuación: 

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ………. , a + (n – 1)d

Donde, “a” es el primer término de la serie. 

Hay dos fórmulas principales al leer la progresión aritmética: 
1) El término n de la serie aritmética 
2) La suma de los primeros n términos 

El enésimo término de la serie aritmética

La fórmula para el término n es como:

un norte = un + (n−1)d

donde, a=primer término 
d = diferencia común 
n = número de términos 
a n = n-ésimo término 

Suma de los primeros n términos

La suma de los primeros «n» términos de la serie se puede encontrar fácilmente si conocemos el primer término de la serie y los términos totales. La fórmula para encontrar la suma de los primeros «n» términos es: 

S norte = n/2 [2a + (n−1)d]

Donde a = primer término 
d = diferencia común 
n = número de términos.

Notación sigma de series aritméticas

La notación Sigma se parece a la siguiente: 

Σ F n=i [expresión] 
 

Aquí, en la expresión anterior, la ‘i’ describe el valor inicial. La ‘f’ describe el valor final y la expresión se refiere a la función y el símbolo ‘E’ es el símbolo griego llamado sigma. 
Por ejemplo: 
Σ 10 n=1 (3n+7) 
 
Aquí el valor de n comienza con ‘1’ y termina en ’10’. Cuando empezamos a poner el valor de n obtenemos la serie aritmética como a continuación: 
 10 + 13 + 16 + 19……+ 37

Ahora, para la notación sigma, existe la fórmula utilizada para encontrar la suma de las series aritméticas dadas anteriormente 
 S n = n/2(a 1 + a n )

Aquí ‘n’ es el número de términos de la serie y a1 y an son el primer y último término de la serie respectivamente. 
Para el ejemplo anterior obtenemos los siguientes valores: 

n = 10 
un 1 = 10 
un n = 37 

Poniendo el valor en la ecuación anterior 
 Sn = 10(10+37)/2 = 235

Por lo tanto, 
Σ 10 n=1 (3n+7)= 235 

Serie aritmética Suma Expresión

Cuando obtenemos la expresión de la serie aritmética como la siguiente: 
1 + 5 + 9 +……+ 45 
Ahora aquí sabemos que la expresión para la sumatoria es la siguiente: 
 S n = n/2(a 1 + a n )

Aquí sabemos el valor 
a 1 = 1, a n = 45, d = (5-1) = 4, pero no sabemos el valor de ‘n’, así que lo encontraremos usando el siguiente método: n 
 = (an – a1)/d = (45 – 1)/4 = 11

Por lo tanto, el valor de n es 11. 
Contar la suma de la serie es Sn = n/2(a 1 + a n )
 S n = 11(1 + 45)/2 = 253

Fórmula recursiva de series aritméticas

La fórmula recursiva da dos informaciones:

1) El primer término de la secuencia 
2) La regla del patrón para encontrar cualquier término del término anterior 

Supongamos que tenemos la serie 3, 5, 7….. entonces aquí el primer término de la serie es a 1 = 3 
Ahora, desde arriba de la serie vemos que la fórmula para a n Será la siguiente: 
Si a 1 = 3 que n = a(n-1) + 2

Por lo tanto, tenemos que sumar ‘2’ al término anterior para llegar al siguiente término de la serie. 
Por lo tanto, encontrar el resto del término a continuación: 
a 1 = 3, a 2 = a 1 +2 = 3 + 2 = 5, a 3 = a 2 + 2 = 5 + 2 = 7, a 4 = a 3 + 2 = 7 + 2 = 9, a 5 = a 4 + 2 = 11… y así sucesivamente.

Prueba de fórmula de serie aritmética finita

Como sabemos que S n = n/2(a 1 + a n
Como sabemos que S n   es la suma de la serie aritmética de ‘n’ términos, por lo tanto, podemos mostrarlo como se muestra a continuación: 

S norte = 1 + 2 + 3….+ (n-1) + norte

S norte = norte + (n-1) +…+ 3 + 2 + 1 

Sumando ambas series Sn obtenemos el siguiente resultado: 

 2S n = n+1 + 2+(n-1) + 3+(n-2)…..

2S n = n(n+1)

S norte = n(n+1)/2

En la fórmula anterior, encontramos que la suma de todos los términos del lado izquierdo resulta ser ‘n+1’ por ‘n’ veces. 
Por lo tanto, podemos probar que S n = n(n+1)/2 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por shivalibhadaniya y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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