Si 25x – 1 = 52x – 1 – 100, encuentra el valor de x.

Las matemáticas no se tratan solo de números, sino de tratar con diferentes cálculos que involucran números y variables. Esto es lo que básicamente se conoce como Álgebra. El álgebra se define como la representación de cálculos que involucran expresiones matemáticas que consisten en números, operadores y variables. Los números pueden ser del 0 al 9, los operadores son los operadores matemáticos como +, -, ×, ÷, exponentes, etc., variables como x, y, z, etc.

Exponentes y Potencias

Los exponentes y las potencias son los operadores básicos utilizados en los cálculos matemáticos, los exponentes se utilizan para simplificar los cálculos complejos que involucran múltiples automultiplicaciones, las automultiplicaciones son básicamente números multiplicados por sí mismos. Por ejemplo, 7 × 7 × 7 × 7 × 7, puede escribirse simplemente como 7 ⁵ . Aquí, 7 es el valor base y 5 es el exponente y el valor es 16807. 11 × 11 × 11, se puede escribir como 11 ³ , aquí, 11 es el valor base y 3 es el exponente o potencia de 11. El valor de 11 ³ es 1331.

Exponente se define como la potencia que se le da a un número, el número de veces que se multiplica por sí mismo. Si una expresión se escribe como cx ^y donde c es una constante, c será el coeficiente, x es la base e y es el exponente. Si un número, digamos p, se multiplica n veces, n será el exponente de p. se escribirá como

p × p × p × p … n veces = p ⁿ

Reglas básicas de Exponentes

Hay ciertas reglas básicas definidas para los exponentes con el fin de resolver las expresiones exponenciales junto con las demás operaciones matemáticas, por ejemplo, si existe el producto de dos exponentes, se puede simplificar para facilitar el cálculo y se conoce como regla del producto, veamos algunas de las reglas básicas de los exponentes,

• Regla del producto ⇢ a ⁿ + a ^m = a ^{n + m}
• Regla del cociente ⇢ a ⁿ / a ^m = a ^{n – m}
• Regla de potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m} o ^m √a ⁿ = a ^n/m
• Regla del exponente negativo ⇢ a ^-m = 1/a ^m
• Regla cero ⇢ a ⁰ = 1
• Una regla ⇢ a ¹ = a

Si 25 ^{x – 1} = 5 ^{2x – 1} – 100, encuentra el valor de x.

Solución:

Como se ve claramente, todo el enunciado del problema está pidiendo una simplificación usando reglas de exponentes, mirando la expresión 25 ^{x – 1} = 5 ^{2x – 1} – 100, se observa que 25 ^{x – 1} se puede escribir como (5 ² ) ^{x – 1} ,  

(5 ² ) ^{x – 1} = 5 ^{2x – 1} – 100

Regla de la potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m}

5 ^{(2x – 2)} = 5 ^{(2x – 1)} – 100

5 ^{(2x – 2)} (5 – 1) = 100

5 ^{(2x – 2)} = 25

5 ^{(2x – 2)} = 5 ²

2x – 2 = 2

2x = 4

x = 2

Por tanto, el valor de x obtenido es 2.

Problemas similares

Pregunta 1: Simplifica 10(y ¹ ) ⁵

Solución:

Se observa que 1 es el exponente de y y 5 es el exponente de y1, y 10 es constante, usando la regla de la potencia de los exponentes, se puede escribir como,

Regla de la potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m}

10(y ¹ ) ⁵ = 10y ^{(1 × 5)}

= 10 años ⁵

Pregunta 2: ¿Cuál es el valor de x, si 36 ^{x – 1} = 6 ^{2x – 1} – 125?

Solución:

Como se ve claramente, todo el enunciado del problema está pidiendo una simplificación usando reglas de exponentes, mirando la expresión 36 ^{x – 1} = 6 ^{2x – 1} – 180, se observa que 36 ^{x – 1} se puede escribir como (6 ² ) ^{x – 1} ,  

(6 ² ) ^{x – 1} = 6 ^{2x – 1} – 180

Regla de la potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m}

6 ^{(2x – 2)} = 6 ^{(2x – 1)} – 180

6 ^{(2x – 2)} (6 – 1) = 36

6 ^{(2x – 2)} = 6 ²

6 ^{(2x – 2)} = 6 ²

2x – 2 = 2

2x = 4

x = 2

Por tanto, el valor de x obtenido es 2.

Pregunta 3: Simplifica 30(y ⁶ ) ⁰

Solución:

Se observa que 6 es el exponente de y y 0 es el exponente de y6, y 30 es constante, usando la regla de la potencia de los exponentes, se puede escribir como,

Regla de la potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m}

30(y ⁶ ) ⁰ = 30(y ^{6 × 0} )

Aplicando la Regla del Cero ⇢ a ⁰ = 1

30 × 1 = 30