Si 2y cos θ = x sen θ y 2x sec θ – y csc θ = 3, entonces demuestre que x2 + 4y2 = 4

La trigonometría es la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, hay 3 ángulos de los cuales un ángulo es un ángulo recto (90°) y los otros dos ángulos son ángulos agudos y hay 3 lados. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Hay 6 razones entre estos lados basadas en el ángulo entre ellos y se llaman razones trigonométricas.

Las 6 razones trigonométricas son:

• Seno (pecado)
• Coseno (cos)
• Tangente (bronceado)
• Cosecante (cosec)
• secante (seg)
• Cotangente (cuna)

Seno (pecado):

El seno de un ángulo se define por la relación entre las longitudes de los lados opuestos al ángulo y la hipotenusa. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo seno se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición de ángulo del seno es la relación entre la perpendicular y su hipotenusa.

Coseno (cos):

El coseno de un ángulo se define por la relación entre las longitudes de los lados adyacentes al ángulo y la hipotenusa. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo cos se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición del ángulo cos es la relación entre la base y su hipotenusa.

Tangente (bronceado):

La tangente de un ángulo se define por el cociente entre la longitud de los lados opuestos al ángulo y la longitud del lado adyacente al ángulo. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo tan se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición de ángulo tan es la relación entre la perpendicular y su base.

Cosecante (cosec):

La cosecante de un ángulo se define por el cociente entre la longitud de la hipotenusa y el lado opuesto al ángulo. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo cosec se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición de ángulo cosec es la relación entre la hipotenusa y su perpendicular.

Secante (s):

La secante de un ángulo se define por la relación entre la longitud de la hipotenusa y el lado y el lado adyacente al ángulo. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo sec se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición de ángulo sec es la relación entre la hipotenusa y su base.

Cotangente (cot):

La cotangente de un ángulo se define por la relación entre la longitud de los lados adyacentes al ángulo y el lado opuesto al ángulo. Para el triángulo anterior, el valor del ángulo cot se da tanto para ∠A como para ∠B, la definición de ángulo cot es la relación entre la hipotenusa y su base.

Si 2y cosθ= x sinθ y 2x secθ- y cosecθ= 3, entonces demuestre que x ² + 4y ² = 4

Solución:

2ycosθ= xsenθ …….. (1)

2ycosecθ= xsecθ …….. (2)

2xsecθ− ycosecθ= 3

De (2), obtenemos

2(2ycosecθ) − ycosecθ= 3

4ycosecθ− ycosecθ= 3

3ycosecθ= 3

ycosecθ= 1

y =

y = senθ …….. (3)

De (1), obtenemos

2ycosθ= xsenθ

2sinθcosθ= xsenθ …….. (De (3))

cosθ= ……… (4)

Sabemos que sen ² θ+ cos ² θ= 1

y ² + = 1 ………(De (3) y (4))

Multiplicando por 4 en ambos lados;

x2 ⁺ 4y2 = ⁴

Por lo tanto, demostrado

Problemas similares

Pregunta 1: Si xcosθ – ysinθ = √(x ² + y ² ) y , entonces + = 1

Solución:

xcosθ – ysenθ = √(x ² + y ² )

…… (1)

Sabemos que sen ² θ + cos ² θ = 1 ⇒ senθ.sinθ + cosθ.cosθ = 1 …… (2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos,

senθ =

cosθ =

Se da que,

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 2: Si asinθ – bcosθ = c, entonces demuestre que acosθ + bsinθ = ± √(a ² + b ² – c ² ).

Solución:

asinθ – bcosθ = c

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,

(asenθ – bcosθ) ² = c ²

a ² cos ² θ – 2absinθcosθ + b ² sen ² θ = c ²

Sabemos que sen ² θ + cos ² θ = 1

a ² (1 – sen ² θ) – 2absinθcosθ + b ² (1 – cos ² θ) = c ²

a ² – a ² sin ² θ – 2absenθcosθ + b ² – b ² cos ² θ = c ²

a ² + b ² – c ² = a ² sen ² θ + 2absinθcosθ + b ² cos ² θ

(asenθ + bcosθ) ² = a ² + b ² – c ²

Sacando raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,

acosθ + bsenθ = ± √(a ² + b ² – c ² )

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 3: Si x = asinθ y y = acosθ entonces encuentra el valor de x ² + y ² = a ²

Solución:

x = asenθ

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,

x ² = a ² sen ² θ …….. (1)

y = acosθ

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,

y ² = a ² cos ² θ …….. (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2),

x ² + y ² = un ² sen ² θ + un ² cos ² θ

x ² + y ² = a ² (sen ² θ + cos ² θ)

Sabemos que sen ² θ + cos ² θ = 1

x ² + y ² = un ² (1)

x ² + y ² = un ²

Por lo tanto, Probado.