Si a sen θ – b cos θ = c entonces demuestre que a cos θ + b sen θ = ± √(a2 + b2 – c2).

La trigonometría es básicamente el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Es uno de los temas más utilizados de las matemáticas que se utiliza en la vida diaria. Se trata de operaciones sobre un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene uno de los ángulos igual a 90°. Hay algunos términos que debemos conocer antes de continuar. Estos términos son,

1. Hipotenusa : Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo. En el lado de la figura 1, AC es la hipotenusa.
2. Perpendicular : la perpendicular de un triángulo, correspondiente a un ángulo θ particularmente agudo, es el lado opuesto al ángulo θ. En el lado de la figura 1, AB es la perpendicular correspondiente al ángulo θ.
3. Base – Es el lado adyacente a un ángulo particularmente agudo θ. En la figura 1 el lado BC es la base correspondiente al ángulo θ.

Como se dijo anteriormente, la trigonometría representa la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Esta relación está representada por razones estándar y se da de la siguiente manera:

• Seno (sin): El seno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.

sen θ = perpendicular/hipotenusa = p/h

• Coseno (cos): El coseno de un ángulo θ es la razón de la longitud de la base, correspondiente al ángulo θ, a la longitud de la hipotenusa del triángulo.

cos θ = base/hipotenusa = b/h

• Tangente (tan): La tangente de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la base para el ángulo particular del triángulo.

tan θ = perpendicular/base = p/b

• Cotangente (cot): es el recíproco de una tangente.

cuna θ = 1/tan θ = base/perpendicular = b/p

• Secante (sec): es el recíproco del coseno.

sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/base = h/b

• Cosecante (cosec): es el recíproco del seno.

cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/perpendicular = h/p

 

Funciones trigonométricas de ángulos complementarios

Una de las relaciones de la trigonometría incluye el concepto de ángulos complementarios. Los ángulos complementarios son un conjunto de dos ángulos, digamos x e y, tales que al sumarlos dan como resultado 90°. Por lo tanto, podemos decir x = 90° – y. Existe una relación complementaria especial entre las razones trigonométricas como se indica a continuación

Entre seno y cos: 

sin(90° – x) = cos x

cos(90° – x) = sen x

Entre bronceado y cuna:

tan(90° – x) = cuna x

cuna(90° – x) = bronceado x

Entre seg y cosec:

seg(90° – x) = cosec x

cosec(90° – x) = seg x

Identidades trigonométricas

Estas identidades dependen del teorema de Pitágoras. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo, obtenemos:

Opuesto ² + Adyacente ² = Hipotenusa ²

Dividiendo ambos lados por la Hipotenusa ²

Opuesto ² /Hipotenusa ² + Adyacente ² /Hipotenusa ² = Hipotenusa ² /Hipotenusa ²

sen ² x + cos ² x = 1

1 + bronceado ² x = segundo ² x

1 + cuna ² x = cosec ² x

En la pregunta que se presenta a continuación, se utilizarán algunas relaciones complementarias entre las razones trigonométricas.

Si a sen θ – b cos θ = c , demuestre que a cos θ + b sen θ = ± √(a ² + b ² – c ² )

Solución:

a sen θ – b cos θ = c

Cuadrando ambos lados:

⇒(a sen θ – b cos θ) ² = c ²

⇒a ² sen ² θ + b ² cos ² θ – 2ab sen θ cos θ = c ²

Usando la propiedad de que sen ² θ = 1-cos ² θ y cos ² θ = 1-sen ² θ 

⇒a ² (1-cos ² θ) + b ² (1-sen ² θ) – 2ab senθ cosθ = c ²

⇒a ² – a ² cos ² θ + b ² – b ² sen ² θ – 2ab senθ cosθ = c ²

Mover a ² y b ² al lado derecho

⇒-a ² cos ² θ – b ² sen ² θ – 2ab senθ cosθ = c ² -a ² -b ²

Multiplicando por -1 en ambos lados

⇒a ² cos ² θ + b ² sen ² θ + 2ab senθ cosθ = a ² +b ² -c ²

Ahora, si observamos que el lado izquierdo es el cuadrado de (a cosθ + b sin θ)

⇒(a cosθ + b sen θ) ² = a ² +b ² -c ²

Tomando raíces cuadradas en ambos lados

a cosθ + b sen θ = ± √(a ² + b ² – c ² )

Por lo tanto demostrado!

Problemas similares

Pregunta 1: Si θ es un ángulo agudo y 7sin2θ + 3cos2θ = 4, entonces encuentre el valor de tanθ.

Solución: 

7sen2θ + 3cos2θ = 4

7sen2θ + 3(1-sen2θ) = 4

7sen2θ + 3 – 3sen2θ = 4

4sen2θ = 1

sen2θ = 1/4

senθ = 1/2

Entonces, θ = 30o

entonces tanθ = 1/√3

Pregunta 2: Si cosα = a cosβ y sinα = b sinβ, entonces encuentre el valor de sin2β en términos de a y b.

Solución: 

Al cuadrar ambos lados

cos ² α = a ² cos ² β

=> 1 – sen ² α = a ² (1 – sen ² β) ……..(1)

De nuevo, senα = b senβ

Al cuadrar ambos lados

sen ² α = ^{segundo 2} sen ² β

Pon el valor de sen ² α en (1)

1 – b ² sen ² β = a ² – a ² sen ² β)

a ² – 1 = a ² sen ² β – b ² sen ² β

a ² – 1 = sen ² β(a ² – b ² )

sen ² β = a ² – 1 / (a ^​​2 – b ² )

Pregunta 3: a, b, c son las longitudes de tres lados de un triángulo ABC. Si a, b, c están relacionados por la relación a ² + b ² + c ² = ab + bc + ca, entonces encuentra el valor de (sen ² A + sen ² B + sen ² C).

Solución: 

Cuenta preguntar

a ² + b ² + c ² – ab – bc – ca = 0

=>2a ² + 2b ² + 2c ² – 2ab – 2bc – 2ca = 0

=>(ab) ² + (bc) ² + (ca) ² = 0

=> a=b=c

Los tres lados son iguales, entonces es un triángulo equilátero.

entonces ∠A = ∠B = ∠C = 60°

Entonces, sen ² 60 + sen ² 60 + sen ² 60

= 3(√3/2) ²

= 9/4

Pregunta 4: Si cot θ = 7/8, evalúa

(i) ((1 + sinθ) * (1 – sinθ))/(1 + cosθ) * (1 – cosθ)))

(ii) cot2θ

Solución:

(i) Usando (a + b) * (a – b) = a ² – b ² en numerador y denominador

Obtenemos

(1 – sen ² θ)/(1 – cos ² θ)

Usando sen ² θ + cos ² θ = 1

Obtenemos

cos ² θ/sen ² θ = cot ² θ

Ahora

cuna ² θ = (7/8) ² = 49/64

(ii) cuna ² θ = (7/8) ² = 49/64

Pregunta 5: Si 3 cot A = 4, comprueba si (1 – tan ² A)/(1 + tan ² A) = cos ² A – sen ² A

Solución:

Sabemos que, tanA = sinA / cosA ….(1)

Usando (1) en LHS

= (1 – sen ² A/cos ² A)/(1 + sen ² A/cos ² A)

que al reorganizar se convierte en

= (cos ² A – sen ² A)/(cos ² A + sen ² A)

Usando la identidad,

cos ² A + sen ² A = 1

LHS se convierte en

= (cos ² A – sen ² A)

Esto es igual a RHS.

LHS = RHS (para cada valor de cot A)

Por lo tanto, Probado.