La progresión aritmética es una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. En términos simples, significa que el siguiente número de la serie se calcula sumando un número fijo, es decir, una diferencia común al número anterior de la serie.
Por ejemplo, f(n): 1,3,5,7,….. se llamará una progresión aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos en la serie (una diferencia común que se denota como ‘d’) es la mismo es decir,
La diferencia entre el segundo y el primer término (3-1=2) es la misma que la diferencia entre el tercer y el cuarto término (5-3=2) es la misma que la diferencia entre el cuarto y el tercer término (7 -5=2). Por tanto, f(n) es una progresión aritmética.
Aquí,
el primer término (a)=1, diferencia común (d)=2, no de términos (n)=4
T4 =1+(4-1)× 2
=>7
El Término General para AP es: La fórmula para el N-ésimo término de un AP es
T norte = un + ( norte – 1) × re ,
dónde,
a es el primer término de la serie,
n es el número de términos y,
d es la diferencia común entre los dos términos consecutivos de la serie.
Cómo encontrar el término general de una progresión aritmética
Sea el primer término T 1 , el segundo término sea T 2 …………… entonces el enésimo término sea T n
Sea a el primer término y d la diferencia común entre dos términos consecutivos.
T1 =a+ 0 ×d,
T2 = a+1×d,
T 3 =a+(3-1)×d,entonces,
Tn =a+( n -1)×d
Por lo tanto,
N -ésimo término de una progresión aritmética = a+(n-1)×d
Enunciado: Si m por el m -ésimo término es igual an por el n – ésimo término de un AP, demuestre que (m + n) el término del AP es cero.
Prueba:
Aquí,
Se da que m por el m -ésimo término es igual an por el n -ésimo término que obtenemos,
Por lo tanto,
El N -ésimo término de un AP es = T n = a+(n-1) d ————>(1)
M th términos de un AP es = T m = a+(m-1) d ———->(2)
Según la pregunta,
m × T m = n × T norte
Igualando la ecuación 1 y 2 obtenemos,
=> m[a + (m − 1)d] = n[a + (n − 1)d]
=> m[a + (m − 1)d] − n[a + (n − 1)d] = 0 //Tomando todos los términos a LHS obtenemos,
=> un(metro – norte) + re[(metro + norte)(metro – norte) – (metro – norte)] = 0
=> (m − n)[a + d((m + n) − 1)] = 0 //dividiendo ambos lados por (mn) obtenemos,
=> a + [(m + n) − 1]d = 0 ——————->(3)
La ecuación anterior representa los (m+n) enésimos términos de la serie T m+n.
De este modo,
=> T m+n = 0
Por lo tanto, la declaración anterior está probada.