Si sen θ = 12/13, encuentre el valor de sen² θ- cos² θ/2 sen θ.cos θ x 1/tan² θ

La trigonometría es básicamente el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Es uno de los temas más utilizados de las Matemáticas que se utiliza en la vida diaria. Se trata de operaciones sobre un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene uno de los ángulos igual a 90 ^° . Hay algunos términos que debemos conocer antes de continuar. Estos términos son,

1. Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo. En la Figura 1, el lado AC es la hipotenusa.
2. Perpendicular: la perpendicular de un triángulo, correspondiente a un ángulo particularmente agudo θ, es el lado opuesto al ángulo θ. En la Figura 1, el lado AB es la perpendicular correspondiente al ángulo θ.
3. Base: es el lado adyacente a un ángulo particularmente agudo θ. En la figura 1, el lado BC es la base correspondiente al ángulo θ.

Como se dijo anteriormente, la trigonometría representa la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Estas relaciones están representadas por razones estándar y se dan de la siguiente manera,

• Seno (sin) El seno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.

sen θ = perpendicular/hipotenusa = p/h

• Coseno (cos) El coseno de un ángulo θ es el cociente entre la longitud de la base, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.

cos θ = base/hipotenusa = b/h

• Tangente (tan) La tangente de un ángulo θ es la razón de la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, a la longitud de la base para el ángulo particular del triángulo.

tan θ = perpendicular/base = p/b

• Cotangente (cot) Es el recíproco de una tangente.

cot θ = 1/tan θ=base/perpendicular = b/p

• Secante (seg) Es el recíproco del coseno.

sec θ =1/cos θ = hipotenusa/base = h/b

• Cosecante (cosec) Es el recíproco del seno.

cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/perpendicular = h/p

También existen relaciones entre cada uno de estos ratios y algunos de ellos que estaremos usando son,

• tan θ = sen θ/ cos θ
• cot θ = cos θ/ sen θ
• sen² θ + cos² θ =1

Si sen θ = 12/13, 0° < θ < 90°, encuentre el valor de sen² θ – cos² θ /2 sen θ × cos θ × 1/tan² θ

Solución:

Dado,

sen θ =12/13

sen² θ = 144/169

Es sabido,

sen² θ + cos² θ = 1

cos² θ = 1 – sen² θ

cos θ = √(1 – sen² θ)

Aquí, sen θ = 12/13

Por lo tanto,

cos θ = √(1 – (12/13) ² )

cos θ = √(1 – 144/169)

cos θ = √((169 – 144)/169)

cos θ = √(25/169)

cos θ = 5/13

y cos² θ = 25/169

tan θ = sen θ/cos θ 

tan θ = (12/13)/(5/13)

tan θ = (12/13) × (13/5)

tan θ = 12/5

tan ² θ = 144/25

Con todo esto en nuestras manos, ahora encuentre el valor de nuestra ecuación

(sen² θ – cos² θ )/(2 sen θ × cos θ ) × 1/tan² θ

= (144/169 – 25/169)/(2 × 12/13 × 5/13) × 1/(144/25)

= (119/169) / (120/169) × (25/144)

= (119/169) × (169/120) × (25/144)

= 0,172

Por lo tanto, la respuesta requerida de la ecuación dada es 0.172.

Problemas similares

Pregunta 1: Si sen θ = 1/2 y cos ϕ = √3/2, encuentre el valor de (tan θ + tan ϕ) /(1- tan θ × tan ϕ).

Solución:

sen θ = 1/2

sen² θ + cos² θ = 1

cos² θ = 1 – sen² θ

cos θ = √(1 – sen² θ)

cos θ = √(1 – 1/4)

cos θ = √3/2

tan θ = sen θ / cos θ

= (1/2)/(√3/2)

= 1/√3

Similarmente,

sen ϕ = √(1 – cos ²  ϕ)

= √(1 – 3/4)

= 1/2

tan ϕ = sen ϕ / cos ϕ 

= (1/2)/(√3/2)

= 1/√3

Por lo tanto,

(tan θ + tan ϕ) /(1- tan θ × tan ϕ) = (1/√3 + 1/√3)/( 1 -1/√3 × 1/√3)

 = (2/√3)/(1 – 1/3)

 = (2/√3)/(2/3)

 = (2/√3) × (3/2)

 = √3

Pregunta 2: Si 5 cos x – 12 sen x = 0, encuentra el valor de (sen x + cos x)/(2 cos x – sen x).

Solución:

5 cos x – 12 sen x =0

5 cos x = 12 sen x

5 = 12 × senx/cos x

5 = 12 tanx

tan x = 5/12

(sen x + cos x)/(2 cos x – sen x)

dividiendo el numerador y el denominador por cos x, 

(tan x + 1)/(2 – tan x)

= (5/12 + 1)/(2 – 5/12)

= (17/12)/(19/12)

= 17/19

Pregunta 3: Si a cos x + b sen x = t y a sen x – b cos x = u, entonces encuentra sen x y cos x.

Solución:

Dado,

a cos x + b sen x = t ⇢ (i)

a sen x – b cos x = u ⇢ (ii)

Por, b × (i) + a × (ii), 

ab cos x + b ² sen x + a ² sen x – ab cos x = bt + a

sen x (a ² + b ² )= bt + au

sen x = (bt + au)/(a ² + b ² )

Similarmente,

Por, a × (i) – b × (ii), obtenemos

a ² cos x + ab sen x – ab sen x + b ² cos x = at – bu

cos x (a ² + b ² ) = en – bu

cos x = (en – bu)/(a ² + b ² )

Pregunta 4: En el triángulo rectángulo ABC, ángulo B = 90 ^° y tan C = 1/2. Si AC = 5, encuentre las longitudes del lado AB y BC.

Solución:

Dado, tan C = 1/2

bronceado C = p/b = AB/BC

Por lo tanto,

bronceado C = AB/BC =1/2

Sean AB y BC k y 2k respectivamente.

Por el teorema de Pitágoras,

AB ² + BC ² = AC ²

k2 ⁺ (2k) ² = 52

5 k ² = 25

k2 = ⁵

k = √5

Por lo tanto,

AB = k = √5 y

BC = 2k = 2√5